Математическая регата 8 классов 12.05.2001

Задания | Результаты | План мероприятий Турнира Архимеда на 2000/2001 уч. г.

Задания


Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).

1.1. Решите неравенство:
|x + 2000| < |x - 2001|.

1.2. Существует ли выпуклый четырехугольник, у которого сумма длин диагоналей не меньше, чем сумма длин всех сторон?

1.3. Через центр окружности проведены еще четыре окружности, касающиеся данной (см. рис.). Сравните площади фигур, выделенных на рисунке черным и серым цветом соответственно.


Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

2.1. Решите систему уравнений:
{1-x1x2=0
1-x2x3=0
...
1-x2000x2001=0
1-x2001x1=0

2.2. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60o, AM и CN - его высоты, а Q - середина стороны AC. Докажите, что треугольник MNQ - равносторонний.

2.3. Найдите все натуральные m и n, для которых выполняется равенство:
m! +12 = n2.


Третий тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).

3.1. Укажите все пары (x; y), для которых выполняется равенство:
(x4 + 1)(y4 + 1) = 4x2y2.

3.2 К окружности с диаметром АС проведена касательная ВС. Отрезок АВ пересекает окружность в точке D. Через точку D проведена еще одна касательная к окружности, пересекающая отрезок ВС в точке K. В каком отношении точка K разделила отрезок ВС?

3.3 Трое рабочих копают яму. Они работают по очереди, причем каждый из них работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они выкопали яму. Во сколько раз быстрее трое рабочих выкопают такую же яму, если будут работать одновременно?


Четвертый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов).

4.1. Найдите все значения а, для которых выражения а+151/2 и (1/а)-151/2 принимают целые значения.

4.2. Расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 5 см, а ее боковые стороны имеют длины 6 см и 8 см. Найдите расстояние между серединами оснований.

4.3. Рассмотрим все моменты времени, когда часовая и минутная стрелки часов лежат на одной прямой, образуя развернутый угол. Найдутся ли среди таких прямых две взаимно перпендикулярные?

Результаты

Команда
школы
IIIIIIIVСумма
баллов
Место
123123123123
661722880019506
665322880990582
661777287990691
5000700000000723-24
6602200500903013
0617021003412515
109А6002020000001020-21
109Б0010018000001020-21
1746610000800002116
2180605038003073211
747005200010000822
1018А000000100000125-26
1018Б606703880000389
10640065218009003112
1101А0050008100001418-19
1101Б0600008000001418-19
1106060001000000723-24
1189А660720880310417
1189Б061314880008398
1514А660702880936553
1514Б665777680000525
1543А656772580007534
1543Б6303718800003610
Протвино6613271300002914
Смоленск000000010000125-26
Ступино6600100101001517