Математическая регата 10 классов 20.04.2002

Задания | Результаты | План мероприятий Турнира Архимеда на 2001/2002 уч. г.

Задания

Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов)

1.1. Квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет действительные корни. Верно ли, что трехчлен
a3x2 + b3x + c3 также имеет действительные корни?

1.2. Прямая проходит через центр квадрата со стороной 1. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин квадрата до этой прямой.

1.3. Найдите две последние цифры в десятичной записи числа: 1! + 2! + ... + 2001! + 2002! (Напомним, что n! = 1*2*3*...*(n - 1)n.)

Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

2.1. (an) - арифметическая прогрессия, a1 = 1. S2002 - наибольшая среди всех Sn. Какие значения может принимать разность прогрессии?

2.2. Верно ли, что если длина каждой высоты треугольника меньше 1, то его площадь меньше 1?

2.3. Изобразите 6 точек на плоскости так, чтобы они служили вершинами ровно для 17 треугольников.

Третий тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

3.1. Найдите наибольшее значение выражения sinx*cosy*cosz + cosx*siny*sinz

3.2. Верно ли, что если длина каждой медианы треугольника меньше 1, то его площадь меньше 1?

3.3. Нарисуйте эскиз графика непрерывной функции, которая каждое действительное значение принимает ровно три раза.

Четвёртый тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов)

4.1. Найдите наименьшее значение выражения y/x, если известно, что x2-10x+y2-2y+1=0.

4.2. Проекциями некоторой фигуры на каждую из двух перпендикулярных плоскостей являются правильные треугольники. Могут ли они быть неравными?

4.3. Можно ли функцию y = x3 представить в виде суммы четной и периодической функций?

Пятый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов)

5.1. Решите уравнение:
(2x + 2)(5 - 2x)(4x2 + 8x + 11) = 10(2x + 3)2.

5.2. Проекциями некоторого треугольника на каждую из двух перпендикулярных плоскостей являются правильные треугольники. Могут ли они быть неравными?

5.3. Найдите все натуральные решения системы уравнений:
{k2+p=n2
p2+k=m2


Результаты

Команда1 тур2 тур3 тур4 тур5 турSДиплом
123123123123123
СУНЦ А516707177818009671 место
91 А515707177080000482 место
1511 Б666700177008000482 место
1543 А066007160070070403 место
1101 В500760077800000403 место
1543 Б61600710007800036грамота за успешное участие
109 А61670012704001035грамота за успешное участие
1543 В32677710000000033грамота за успешное участие
1511 А00606011700000728грамота за успешное участие
1101 А01603017080000026 
1101 Б51310017700000025 
17450300711700000024 
7 А51000717000002023 
7 Б51600710000000020 
109 Б11300000700000012 
15260600000000000012 
1018 А5100001000000007 
172100001000000004 
колледж Мосэнерго0000000300100004 
 
 означает, что оценка была изменена в результате апелляции