Математическая регата 11 классов 15.12.2001

Задания | Результаты | План мероприятий Турнира Архимеда на 2001/2002 уч. г.

Задания


Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).

1.1. Найдите площадь фигуры, которая задана на координатной плоскости системой неравенств:
{x<(1-y2)1/2
y<(1-x2)1/2

1.2. Можно ли расположить в пространстве 9 шаров так, чтобы каждый из них касался ровно пяти других?

1.3. Представьте число 30 в виде произведения как можно меньшего количества множителей, сумма которых равна нулю.


Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

2.1. Докажите, что для любой функции f(x) существуют функции g(x) и h(x) такие, что
f(x) = g(x)sinx + h(x)cosx.

2.2. Стороны пятиугольника, взятые последовательно, равны 4 см, 6 см, 8 см, 7 см и 9 см. Можно ли в этот пятиугольник вписать окружность?

2.3. Найдите все простые числа x, y и z, для которых выполняется равенство: z = 1 + xy.


Третий тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

3.1. Решите уравнение: x3 + x2 + x = -1/3.

3.2. В треугольнике АВС проведены медианы AL и BM, пересекающиеся в точке К. Вершина С лежит на окружности, проходящей через точки К, L и M. Найдите длину медианы CN, если длина стороны АВ равна a.

3.3. Приведите пример многогранника, имеющего столько же вершин, ребер и граней, сколько у куба, но не имеющего ни одной четырехугольной грани.


Четвертый тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).

4.1. Известно, что многочлен P(x) принимает целые значения при всех целых значениях x. Может ли один из его коэффициентов быть равен 1/2001?

4.2. Дан треугольник АВС. Объясните, как построить точку О внутри треугольника такую, что площади треугольников АОС, ВОС и АОВ относятся, как 7:11:13.

4.3. Можно ли разбить числа 1, 2, 3, ..., 99, 100 на три группы так, чтобы сумма чисел в одной группе делилась на 102, сумма чисел в другой группе делилась на 203, а сумма чисел в третьей группе делилась на 304?


Пятый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов).

5.1. Решите систему уравнений:
{x3+xy4=y9+y7
x2+y3=2

5.2. В правильной треугольной пирамиде PАВС на боковых ребрах выбраны точки: К - середина РА, M - середина РВ, DCРС, РD: = 2:1. Через точки К, M и D проведена плоскость, которая делит полную поверхность пирамиды на части, отношение площадей которых равно составному натуральному числу. Какому?

5.3. Существуют ли 2001 различных натуральных чисел, каждое из которых является кубом некоторого натурального числа и которые различаются только порядком цифр?


Результаты

Команды\ЗадачиТур 1Тур 2Тур 3Тур 4Тур 5SМЕСТО
123123123123123
СУНЦ666777170878949921
1511 А666775000088999802
109 А666777000878900712
1511 Б606010777808919692
Троицк106733070860689643
17664577100888100613
2 А666777000880001563
82 Черноголовка664772000088160553
Долгопрудный А666777070000900553
Долгопрудный В66277100006819053ПК
21806677707008013052ПК
1543 А36617000008013944 
1101 А66637700008000043 
1101 В11677000003890042 
Долгопрудный Б16673300000810035 
1101 Б10601101007890034 
153410407200000890031 
1189 А60627301004010030 
109 Б66607100010010028 
7 А01600000008019025 
31500473170000010023 
103700401100000890023 
1101 Г06600700000010020 
1018 А 07100000090017 
125210670000000010015 
15210471000000000013 
5 Б00101000000090011 
1018 Б 7100000001009 
7 Б0140030000000008 
18300140010000001007 
5 А0040000000101006