Математическая регата 7 классов 16.03.2002

Задания | Результаты | Правила | План мероприятий Турнира Архимеда на 2001/2002 уч. г.

Задания

Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов)

1.1. Число 5 возвели в степень 2002. Как вы думаете, в получившемся числе больше, чем 2002 цифры или меньше? Ответ объясните.

1.2. Две стороны и высота, проведенная к третьей стороне одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте, проведенной к третьей стороне другого треугольника. Можно ли утверждать, что треугольники равны? Ответ объясните.

1.3. Водитель дальнобойного грузовика взглянул на приборы своей машины и увидел, что спидометр показывает число 25952. "Какое красивое число километров я проехал. Наверное, не скоро выпадет следующее красивое число" - подумал он. Однако, через 1 час 20 минут на спидометре высветилось следующее красивое число. С какой скоростью ехал грузовик?

Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

2.1. Известно, что (a-b+2002), (b-c+2002) и (c-a+2002) - три последовательных целых числа. Найдите эти числа.

2.2. Можно ли расположить на плоскости (но не на одной прямой!) пять точек так, чтобы выполнялось условие: "если три точки являются вершинами треугольника, то этот треугольник - прямоугольный"? Ответ объясните.

2.3. Автомат умеет от любого картонного прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника. Петя разрезал имевшийся у него прямоугольник на 2 больших квадрата, 3 квадрата поменьше и 5 маленьких квадратов со стороной 10 см, используя только этот автомат. Найдите размеры Петиного прямоугольника.

Третий тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов)

3.1. Может ли натуральное число иметь в полтора раза больше нечетных делителей, чем четных? Ответ объясните.

3.2. В треугольнике ABC H - точка пересечения высот AA1 и BB1. Найдите /ВАС, если известно, что AH=BC.

3.3. Шахматный конь хочет попасть из левого нижнего угла в правый верхний угол на доске размером 2002*2003, делая ходы только вправо и вверх (см. рисунок). Сможет ли он это сделать? Ответ объясните.

Четвертый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов)

4.1. Докажите, что число 11...1-22...2 (218 цифр "2" и 2*218 цифр "1") является квадратом некоторого натурального числа.

4.2. В треугольнике АВС: /В = 20o, /С = 40o, длина биссектрисы АМ равна 2 см. Найдите разность сторон: ВС-АВ.

4.3. Дана последовательность, в которой пропущено ровно пять чисел: 102; 105; 111; 114; 120; 123; 129; ___; ___; ___; ___; ___; 201; 204; 210; 213; 219. Вставьте пропущенные числа.

Результаты

Команда1 тур2 тур3 тур4 турSДиплом
123123123123
1189 А664777808069681 (абс.)
2 Б406677231990541
2 А660770038093491
444 А364277201009412
2 В204677200309402
1189 Б304775100109372
1514 Б416777102000353
1543304077200309353
1514 А506075001910343
82 А166773102000333
1199 А006277001009323
218 А466770200000323
82 Б00637700070030ПП
1101 А30630710001930ПП
109 Б40077110130024 
218 Б36407120100024 
1101 В10677010101024 
1199 Б10626710010024 
1018 А30607500100022 
4010270000100920 
2 Фрязино30470031000018 
гимн. Фрязино00060711200017 
141110607100100016 
444 Б60400010400015 
5 Долгопрудный10410710000014 
1018 Б10407000100013 
1101 Б00607000000013 
152 Б10630000100011 
152 А10600011100010 
174 А01070110000010 
Венда0000701000008 
Квантик А3001002020008 
174 Б0060000000006 
Квантик Б0003010010005 
7470020000010003 
170001000010002 
109 А0000001000001 
9330000000000000 

Правила

1. В математической регате участвуют школьные команды учащихся параллели седьмых классов. В составе каждой команды - 4 человека. Школа может быть представлена одной или несколькими командами. Названием команды является номер школы с добавленным к нему буквенным индексом.

2. Соревнование проводится в 4 тура. Каждый тур представляет собой коллективное письменное решение трех задач. Любая задача оформляется и сдается в жюри на отдельном одинарном листе. Каждая команда имеет право сдать только по одному варианту решения каждой из задач. Листы каждая команда заготавливает заранее, на каждом из них сверху крупно написано название команды, а ниже - двойной индекс задачи и ее решение. Условия задач на этот лист не переписываются. Использование какой-либо математической литературы запрещено.

3. Проведением регаты руководит Координатор. Он организует раздачу заданий и сбор листов с решениями; проводит разбор задач и объявляет итоги проверки.

4. Время, отведенное командам для решения, и "ценность" задач каждого тура в баллах указаны на листах с условиями задач, которые каждая команда получает перед началом каждого тура.

5. Проверка решений осуществляется жюри после окончания каждого тура. Жюри состоит из трех комиссий, специализирующихся на проверке задач N 1, N 2 и N 3 каждого тура соответственно.

6. Параллельно с проверкой, Координатор осуществляет разбор задач для учащихся, а затем объявляет итоги проверки. После объявления итогов тура, команды, не согласные с тем, как оценены их решения, имеют право подать заявки на апелляции. В случае получения такой заявки, комиссия проверявшая решение, осуществляет повторную проверку и, после нее, может изменить свою оценку. Если оценка не изменена, то сам процесс апелляции эта же комиссия осуществляет после окончания всех туров регаты, но до окончательного подведения итогов. В результате апелляции оценка решения может быть как повышена, так и понижена, или же оставлена без изменения. В спорных случаях окончательное решение об итогах проверки принимает председатель жюри.

7. Команды - победители и призеры регаты определяются по сумме баллов, набранных каждой командой во всех турах. Награждение победителей и призеров происходит сразу после подведения итогов регаты.