Математическая регата 9 классов 24.11.2001

Задания | Результаты | План мероприятий Турнира Архимеда на 2001/2002 уч. г.

Задания


Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов)

1.1. Известно, что число a является корнем уравнения x3+7x-9=0.
Найдите значение выражения (2a3+3a)(11a-18).

1.2. Могут ли длины сторон a, b и c прямоугольного треугольника удовлетворять соотношению a2+b2=5c2 ?

1.3. Сколько десятизначных чисел можно составить так, чтобы любые две соседние цифры отличались на единицу, если в их десятичной записи можно использовать только цифры 1, 2 и 3 ?


Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

2.1. При каких натуральных значениях n выражение n2+(n-1)2+n2(n-1)2 является полным квадратом?

2.2. Один из углов трапеции равен 60o. Найдите отношение её оснований, если известно, что в эту трапецию можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность.

2.3. Сравните числа A и B, не используя калькулятор:
A = 1*2*3*...*19*20 и
B = 1+2+3+...+999999+1000000.


Третий тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

3.1. Решите уравнение
15(x+1)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x- 5|.

3.2. В треугольнике АВС: угол А > угол В > угол С. К какой из сторон треугольника ближе всего расположен центр окружности, описанной около этого треугольника?

3.3. За одну операцию разрешается разрезать многоугольник на две части по любому отрезку, перевернуть одну из частей и склеить эти части по тому же отрезку. Можно ли за несколько таких операций из прямоугольника 5*20 получить квадрат 10*10 ?


Четвертый тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов)

4.1. Решите систему уравнений:
{x+y+z=3,
x2+y2+z2=3.

4.2. A и B - фиксированные точки на плоскости. Найдите геометрическое место точек M этой плоскости, для которых угол ABM - наибольший из углов треугольника ABM.

4.3. На столе поставлены в один ряд N стаканов, перевёрнутые вверх дном. Разрешается одновременно переворачивать два стакана, стоящие через один. При каких значениях N можно добиться того, чтобы все стаканы стояли дном вниз?


Пятый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов)

5.1. При каких значения параметра a разность корней квадратного
x2-6x+12+a2-4a=0
принимает наибольшее значение?

5.2. Вершины параллелограмма ABCD являются центрами непересекающихся окружностей, радиусы которых равны соответственно 5, 6, 8 и 7 (см. рис.). К окружностям с центрами в противолежащимих вершинах проведены общие внешние касательные, которые образуют новый четырёхугольник.

Докажите, что в него можно вписать окружность и найдите её радиус.

5.3. Найдите среднее арифметическое всех пятизначных чисел-палиндромов (чисел, которые справа налево и слева направо читаются одинаково, например, 12421).


Результаты

команда
школы
тур 1тур 2тур 3тур 4тур 5Итоговый
балл
123123123123123
1514 Б10677777785299284
1189 А06307773784298980
1543 А66601771782291972
91 А66607771780290268
82 Б (Черноголовка)06207777014890462
1543 В66101771714291962
2 Вопозд.07774716890258
Протвино06617077114191455
2 Бопозд.07072788290454
1189 Б60101777713350452
82 A (Черноголовка)66007007014290951
1101 А66077276110501049
1514 А06002777011290244
2 Аопозд.07177014491243
29 (Смоленск)46007100110890441
Раменское40001771115091441
152306017711110290238
1189 В00061471710420336
91 Б03001370116290235
21800201071180490235
17400101471110290431
7 А00007010700290026
1543 Б00007073010400224
1101 Б06101100110280021
109 Б00001070030250018
130660000111110250018
109 А06001050110200016
7 Б00007001110200214
170010010111020007
747 А0000001101020005
747 Б0000010001000002
количество верных решений 913 4 3151121 810 6 5 4 23 2 4