1. БЕДА, КОЛЬ ПИРОГИ НАЧНЕТ ПЕЧИ САПОЖНИК... (5 баллов)
На кулинарной олимпиаде участникам было предложено приготовить фрикассе,
эклер, лангет и гречневую кашу. Из 100 участников кашу смогли приготовить
90 человек, лангет - 85, фрикассе - 80, эклер - 75. На второй тур допускались
только участники, справившиеся со всеми заданиями. Хватит ли для проведения
второго тура кухни на 28 мест?
В этой задаче требуется выбрать и обосновать один из трех вариантов:
- в любом случае хватит;
- в любом случае не хватит;
- может хватить, а может и не хватить.
2. В ЖЕЛТОЙ ЖАРКОЙ АФРИКЕ (5 баллов)
Если на ветках дерева Буобуб рассаживается стая из 30 пеликанов, то в
любом случае хотя бы на одной ветке окажется не менее двух пеликанов.
Если то же самое делает стая из 26 ворон, то по крайней мере три ветки
всегда остаются пустыми. Сколько веток у дерева Буобуб?
В этой задаче надо указать ответ (или все ответы, если их
несколько), и доказать, что ни больше, ни меньше веток быть не
может.
3. КАЖДОЙ БОЧКЕ - ЗАТЫЧКУ! (12 баллов)
Имеется 15 бочек разного размера и 15 затычек к ним. Каждой затычкой
можно заткнуть свою или меньшую бочку. После праздника трактирщик затыкает
бочки так: он подходит к бочке, перебирает затычки, пока не найдет подходящую
(т. е. от этой или меньшей бочки), если нашел - затыкает, если нет - идет
дальше. Второй раз он ни к одной бочке не подходит. Какое максимальное число
бочек может остаться незаткнутым?
В этой задаче надо указать ответ (очевидно, единственный), и
показать, что столько может, а больше не может.
4. НЕ ВСЯКИЙ НУЛЬ НИЧЕГО НЕ ЗНАЧИТ (12 баллов)
Произведение всех натуральных чисел от 1 до N обозначается N!
(читается: "эн факториал"). Найти, сколькими нулями оканчивается число 100!.
В этой задаче нужно указать количество нулей, объяснить, откуда они
берутся, и показать, что больше быть не может.
5. КТО СКАЗАЛ, ЧТО ВСЕ ТОЧКИ ОДИНАКОВЫЕ? (16 баллов)
На плоскости произвольным образом раскидали 100 красных и 100 синих точек.
Известно, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Доказать, что их
можно соединить 100 отрезками с разноцветными концами так, что никакие два
отрезка не будут пересекаться (замечание: два отрезка, выходящие из одной
точки, считаются пересекающимися в этой точке).
В этой задаче нужно либо указать способ соединения (так, чтобы было ясно,
что в конце концов получатся 100 непересекающихся отрезков), либо указать
способ выбора нужного способа соединений из всех возможных.
6. У НАШЕЙ ЛИНЕЙКИ ДВЕ СТОРОНЫ! (10 баллов)
Дан угол ABC и двусторонняя линейка без делений (двусторонняя
линейка шириной h позволяет, как обычно, провести прямую через две
данные точки и, кроме того, параллельную ей прямую на расстоянии h от первой
прямой). Построить биссектрису угла ABC.
В этой задаче нужно объяснить способ построения, использующий
только двустороннюю линейку, и доказать, что полученная прямая
будет биссектрисой. Не забывайте, что у Вас нет циркуля!
7. ОПЯТЬ ПИВО ПИЛ !? (14 баллов)
Замок Ламекот состоит из стен и башен. Расстояние между любыми двумя
соседними башнями (т.е. длина каждого куска стены) равно 99 ярдам. К каждой
башне подходят ровно две стены, стыкующиеся точно под прямым углом. Стражник,
посланный обойти стены, доложил, что обошел весь замок по периметру и при
этом прошел 14850 ярдов. Начальник караула утверждает, что стражник соврал.
Кто из них прав?
В этой задаче нужно выяснить, может ли такой замок иметь
периметр 14850 ярдов. Если нет, надо это доказать. Если да, то
нужно описать способ построения или обосновать это иным
образом. Заметим, что делимости на 99 недостаточно...
8. И ЗАДОМ НАПЕРЕД, СОВСЕМ НАОБОРОТ! (10 баллов)
Доказать, что если сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 3,
то и сами эти числа оба делятся на 3.
Замечание: легко доказать обратное утверждение: если два числа делятся
на 3, то сумма их квадратов также делится на 3. А вот наоборот...
9. ХВАТАЕТ ЛИ У ВАС ШАРИКОВ? (14 баллов)
Имеется 60 цветных шариков (каждый шарик окрашен в один цвет). Известно,
что среди любых 10 шариков найдутся три шарика одного цвета, как бы эти 10
шариков ни выбирались. Верно ли, что среди этих 60 найдутся 15 шариков одного
цвета?
В этой задаче нужно либо показать, что могут и не найтись (например,
построить такой набор из 60 шариков, указав их цвета и проверив условие),
либо доказать, что всегда найдутся (например, так: пусть в каждый цвет
окрашено не более 14 шариков; тогда ... приходим к противоречию).
10. СВОБОДА И НЕЗАВИСИМОСТЬ (16 баллов)
В Тьмутараканьей губернии имеется 491 деревня. Однажды все они решили
объявить себя независимыми суверенными государствами, и каждая деревня
направила посла в ближайшую к ней деревню (расстояния между деревнями
попарно различны, так что ближайшая деревня определяется однозначно).
Доказать, что найдется деревня, в которую не пришел ни один посол.
В этой задаче легко найти нужную деревню, рассматривая пример или частный
случай, однако это не является решением! Надо доказать, что такая деревня
найдется, при любом начальном расположении деревень. Замечание: если деревня
Мухобойки является ближайшей для деревни Клоповники, то это не значит, что
деревня Клоповники является ближайшей для деревни Мухобойки.