КОМАНДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 2001 ГОДА, 8 КЛАСС

ОКРУЖНОЙ ТУР ЮГО-ВОСТОЧНОГО ОКРУГА, 17 АПРЕЛЯ 2001 ГОДА

1. (5 баллов) УЧИТЬСЯ, УЧИТЬСЯ И УЧИТЬСЯ
Для нумерации страниц нового учебника математики потребовалась 2001 цифра. Сколько страниц в этом учебнике?

Решение. Сначала выясним, какие числа использовались в нумерации. Однозначных чисел 9 (от 1 до 9), двузначных - 90 (от 10 до 99). Вместе они содержат 9*1+90*2=189 цифр, что недостаточно. Трехзначных чисел 900 (от 100 до 999), и они содержат 900*3=2700 цифр, что уже больше, чем нужно. Значит, будут использованы все однозначные и двузначные числа, трехзначные числа (не все), а четырехзначные - нет.
Из 2001 цифры на трехзначные числа приходится 2001-189=1812 цифр, значит, трехзначных чисел будет 1812:3=604. Всего получаем 9+90+604=703 страницы.

2. (7 баллов) ТВОЙ КОНЬ НЕ БОИТСЯ ОПАСНЫХ ТРУДОВ...
Султан закупил для своей армии партию боевых слонов и коней (без воинов), заплатив за них 444 барана и усилив ее таким образом на 152 воина. Затем он купил партию поменьше (по тем же ценам), снова расплатившись баранами, и усилил армию еще на 18 воинов. Один боевой слон стоит 100 баранов и заменяет 32 воина. Сколько стоит боевой конь, если он заменяет 3 воинов?

Решение. На первый взгляд кажется, что эта задача решается обычной системой линейных уравнений. Обозначим, как обычно, неизвестное через x, количество слонов - через s, количество коней - через k. Тогда воины дадут нам уравнение
32*s + 3*k=152,
а бараны - уравнение
100*s+x*k=444.
Имеем на три неизвестных два уравнения, что недостаточно для решения. Придется использовать дополнительно соображения неотрицательности и целочисленности неизвестных и прибегнуть к перебору. Проще всего перебирать слонов - они большие (по 100 баранов!), поэтому их количество сильнее всего ограничено. Действительно, их может быть от 0 до 4, поскольку 5 слонов стоят уже 500 баранов. Для нахождения количества коней можно использовать первое уравнение:
k=(152-32*s):3,
а для вычисления стоимости коня - второе:
x=(444-100*s):k.
Результат представляется следующей табличкой:

Слонов	Коней	Стоимость коня
0	50,(6)	-
1	40	8,6 барана
2	29,(3)	-
3	18,(6)	-
4	8	5,5 барана

В трех вариантах из пяти получается дробное количество коней, что невозможно. В остальных двух получаются два ответа, оба дробные. Это не противоречитусловию задачи - в ней никто не покупает одного коня по этой цене.
Теперь обратимся ко второму условию. Поскольку слон стоит 32 барана, ясно, что куплены были только кони - именно, 18:3=6 коней. Сначала это условие кажется ненужным, но теперь ясно, что оно дает - 6 коней должны стоить целое количество баранов! Это позволяет отбросить первый ответ: 8,6*6 - число дробное, и оставить второй: 5,5*6=33 барана (целых). Итак, боевой конь стоит 5,5 барана.

3. (10 баллов) АХ, КАРУСЕЛЬ, КАРУСЕЛЬ
На крутящейся карусели стоят 1000 лошадок. Дворник моет каждую 6-ю лошадку, проезжающую мимо него (1-ю, 7-ю, 13-ю, и т. д. по кругу). При повторных кругах ранее мытые лошадки считаются и могут мыться еще раз. Можно ли выбрать лошадку так, чтобы не оказаться помытым (вместе с ней) через 1000 кругов?

Решение. Как выразить математически условие "Каждая шестая лошадка, начиная с первой"? Это числа, которые при делении на 6 дают остаток 1, т. е. выражаются формулой 6n+1. Последнее такое число (из 1000) - это 996+1=997. Отсчитав 6 лошадок (998, 999, 1000, 1, 2, 3), получим, что в начале второго круга будет помыта 3-я лошадка. Каждая 6-я лошадка, начиная с 3-й - это числа, которые при делении на 6 дают остаток 3, т.е. выражаются формулой 6n+3. Последняя такая лошадка имеет номер 996+3=999, а следующая через 6 по кругу - номер 5. Значит, на третьем круге будут мыться лошадки с номерами 6n+5. Последнее такое число - 990+5=995, так что 4-й круг снова начнется с 1-й лошадки. Далее вычисления, а вместе с ними и последовательность номеров, будет повторяться. Мы видим, что номера мытых лошадкок имеют вид 6n+1, 6n+3 и 6n+5 - все нечетные. Значит, лошадки с четными номерами останутся немытыми, и можно выбрать любую такую лошадку (например, вторую).

4. (12 баллов) ХОРОШО ИМЕТЬ ПРАВИЛЬНОГО ПАПУ
Каждый учебный день к школе из дома за Вовочкой приезжает "Мерседес". Ровно в одно и то же время Вовочка садится в машину и едет домой. Однажды занятия в школе закончились на час раньше, и Вовочка решил отправиться домой пешком. По дороге он встретил едущий навстречу "Мерседес", сел в него и вернулся домой на 10 минут раньше обычного. Во сколько раз "Мерседес" движется быстрее Вовочки?

Решение. На первый взгляд задача кажется нерешаемой - в ней почти ничего не известно! Например, не дано ни одного расстояния - как же найти нужные скорости? Правда, сами скорости искать не надо, требуется лишь их отношение. Неизвестные расстояния придется как-то обозначить и надеятся, что в окончательный ответ они не войдут.
Обозначим школу буквой Ш, дом - Д, место встречи - В. Известно, что "Мерседес", выехав из Д в обычное время, вернулся на 10 минут раньше. Где он сэкономил эти 10 минут? Он не проехал (туда и обратно) расстояние ВШ. Значит, это расстояние он проехал бы туда и обратно за 10 минут, а в одну сторону - за 5 минут.
В точке В "Мерседес" встретился с Вовочкой. Если бы этого не произошло, то через 5 минут "Мерседес" подъехал бы к школе - точно к концу занятий. Значит, в точке В "Мерседес" был за 5 минут до обычного конца занятий. Вовочка оказался там одновременно с "Мерседесом". Если он вышел из школы за час до обычного конца занятий, а пришел в точку В за 5 минут до конца, то на путь ВШ он затратил 60-5=55 минут.