39-я Международная математическая олимпиада школьников проходила с 10 по 21 июля в городе Тайпей (Тайвань). Каждая страна могла быть представлена командой не более шести человек. На Тайвань прибыли команды из 76 стран. Всего 419 школьников.
Команда России была сформирована по результатам Всероссийской олимпиады школьников и учебно-тренировочных и отборочных сборов, проведенных на базе Московского физико-технического института.
Состав команды:
Николай Дуров (физико-математический лицей N 239, г. Санкт-Петербург),
Антон Розенберг (физико-математический лицей N 239, г. Санкт-Петербург),
Евгений Черепанов (средняя школа N 17, г. Рыбинск),
Ирина Анно (средняя школа N 57, Москва),
Владимир Дремов (средняя школа N 24, г. Волгодонск Ростовской области),
Данила Шаповалов (средняя школа N 33, г. Иваново).
Олимпиада проводилась в два тура, на каждом из которых было предложено решить по три задачи. Все задачи оценивались максимально по 7 баллов.
Задача 1. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны, а противоположные стороны AB и DC не параллельны. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и DC пересекаются в точке P, лежащей внутри ABCD. Доказать, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность тогда и только тогда, когда площади треугольников ABP и CDP равны.
Задача 2. На соревновании выступило a участников, которые были оценены b судьями, где b нечетное число, b > 3 . Каждый судья выставил каждому из участников одну из двух оценок "удовлетворительно" или "неудовлетворительно". Число k таково, что для любых судей найдется не более чем k участников, получивших у этих двух судей совпадающие оценки. Доказать, что k/a > (b-1)/(2b)
Задача 3. Пусть d(n) - количество всех различных натуральных делителей числа n (включая 1 и само n). Найти все натуральные числа k такие, что d(n2)/d(n)=k при некотором n.
Задача 4. Найти все пары (a; b) натуральных чисел такие, что a2b + a + b делится на ab2 + b + 7.
Задача 5. Пусть I - центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Обозначим через K, L, M точки, в которых эта окружность касается сторон BC, CA, AB соответственно. Прямая, проходящая через точку B параллельно прямой MK, пересекает прямые LM и LK в точках R и S соответственно. Доказать, что угол RIS - острый.
Задача 6. Рассмотрим все функции f, определенные на множестве
всех натуральных чисел, принимающие натуральные значения и удовлетворяющие
условию
f(t2(f(s))) = s(f(t))2
для любых натуральных s и t.
Найти наименьшее возможное значение f(1998).
Итоги выступления команды России:
| Участник | N задачи | Сумма баллов | Медаль | |||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |||
| Дуров Н. | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 4 | 39 | Золотая |
| Дремов В. | 5 | 7 | 7 | 7 | 0 | 7 | 33 | Золотая |
| Черепанов Е. | 2 | 7 | 2 | 7 | 4 | 7 | 29 | Серебряная |
| Анно И. | 6 | 7 | 3 | 5 | 7 | 0 | 28 | Серебряная |
| Розенберг А. | 7 | 7 | 2 | 7 | 3 | 0 | 26 | Серебряная |
| Шаповалов Д. | 4 | 7 | 2 | 7 | 0 | 0 | 20 | Бронзовая |