Московский турнир математических боёв

Правила

Очередной турнир состоится 18.11.2001 .

Результаты

10-11 классы. Вариант А

1. В стране имеют хождение n валют, причём в любой паре валют одну из них можно обменять на другую, а наоборот - нельзя. Валюта называется твердой, если ее можно поменять на любую другую не более, чем за две операции. Известно, что твёрдая валюта ровно одна. Возможна ли ситуация, когда человек, не имеющий твердой валюты, приобретает её (за какое-то количество операций)?

2. Все грани выпуклого многогранника - параллелограммы. Докажите, что их число равно n(n+1) для некоторого n.

3. Даны числа a₁, ..., a_n, такие, что сумма любых двух из них неотрицательна. Докажите, что для любых неотрицательных чисел x₁, ..., x_n, сумма которых равна 1,
a₁x₁+...+a_nx_n > a₁x²₁+...+a_nx²_n.

4. Докажите, что
[n^1/2+(n+1)^1/2]=[(4n+2)^1/2]
при любом натуральном n.

5. Из шахматной доски размера (2m+1)*(2n+1) с черными углами вырезали одну белую и две черных клетки. Докажите, что оставшуюся часть доски можно покрыть доминошками.

6. Квадрат EFGH вписан в четырехугольник ABCD так, что E лежит на AB, F лежит на BC, G лежит на CD и H лежит на DA. Докажите, что если BE=CF=DG=AH, то ABCD - квадрат.

7. На круглой сковородке можно одновременно поджарить 6 одинаковых круглых котлет. Докажите, что на ней можно одновременно поджарить 7 таких же котлет.

8. Найдите все функции f(x), на всей вещественой оси удовлетворяющие соотношению
f(x+y)+f(x-y)=2f(x) cos y
(непрерывность не предполагается).

9. Пусть f(x) - многочлен n-й степени, имеющий n различных корней a₁, ..., a_n.
Корни его производной обозначим b₁, ..., b_n-1.
Найдите сумму

n	n-1
S	S	(ai-bj)-1
i=1	j=1

10. Решите в целых числах уравнение
y²=x⁴+x³+x²+x+1.

11 класс. Вариант Б

1. На клетчатой доске 21*2001 двое играют в такую игру: ход состоит в закрашивании одной или нескольких клеток, образующих квадрат. Закрашивать клетки дважды нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер?

2. Даны 2 четверки точек A, B, C, D и A₁, B₁, C₁, D₁. Известно, что AB=A₁B₁=a, BC=B₁C₁=b, CD=C₁D₁=c, DA=D₁A₁=d.
AC | BD. Обязательно ли A₁C₁ | B₁D₁?

3. В шахматном турнире участвовало 8 человек, и все они набрали разное количество очков. Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четыре последних вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое места?

4. Назовем четырехзначные числа A и A+1 p-близнецами, если суммы цифр каждого из этих чисел делятся на p (p - натуральное число, большее 1). Найдите все p-близнецы для всех возможных p.

5. Узлы бесконечного клетчатого листа бумаги раскрашены в 3 цвета. Доказать, что найдется прямоугольный треугольник, все вершины которого разного цвета и расположены в узлах сетки.

6. По окружности написано n чисел,каждое из которых равно "+1" или "-1". Требуется узнать произведение всех этих чисел. За один вопрос можно узнать произведение трех стоящих подряд чисел. Какое наименьшее число вопросов нужно задать?

7. Назовем чевианой треугольника любой отрезок, соединяющий одну из его вершин с точкой на противоположной стороне или ее продолжении. Доказать, что для любого остроугольного треугольника в пространстве найдется точка, из которой любая его чевиана видна под прямым углом.

8. При каких b и c для функции f(x)=x²+bx+c существует функция g(x), не тождественно равная нулю, такая, что f(g(x))=0 и g(f(x))=0.

9. Натуральные числа от 1 до 101 выписаны в ряд в каком-то порядке. Доказать, что из этого ряда всегда можно вычеркнуть 90 чисел так, что оставшиеся 11 будут расположены в порядке возрастания или убывания.

10. У какого из вписанных в данную окружность многоугольников сумма квадратов сторон наибольшая?

10 класс. Вариант Б

1. На клетчатой доске 21*2001 двое играют в такую игру: ход состоит в закрашивании одной или нескольких клеток, образующих квадрат. Закрашивать клетки дважды нельзя.Проигрывает тот,кто не может сделать ход.Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер?

2. Даны 2 четырехугольника ABCD и A₁B₁C₁D₁. Известно, что AB=A₁B₁=a, BC=B₁C₁=b, CD=C₁D₁=c, DA=D₁A₁=d.
AC | BD. Обязательно ли A₁C₁ | B₁D₁?

3. В шахматном турнире участвовало 8 человек, и все они набрали разное количество очков. Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четыре последних вместе. Как сыграли между собой шахматисты,занявшие третье и седьмое места?

4. Назовем четырехзначные числа A и A+1 p-близнецами, если суммы цифр каждого из этих чисел делятся на p (p - натуральное число, большее 1). Найдите все p-близнецы для всех возможных p.

5. Узлы бесконечного клетчатого листа бумаги раскрашены в 3 цвета. Доказать, что найдется прямоугольный треугольник, все вершины которого разного цвета и расположены в узлах сетки.

6. По окружности написано n чисел, каждое из которых равно "+1" или "-1". Требуется узнать произведение всех этих чисел. За один вопрос можно узнать произведение трех стоящих подряд чисел. Какое наименьшее число вопросов нужно задать?

7. Медианы разбивают треугольник ABC на шесть треугольников. Оказалось, что четыре из окружностей, вписанных в эти треугольники, равны. Докажите,что треугольник ABC правильный.

8.. При каких b и c для функции f(x)=x²+bx+c существует функция g(x), не тождественно равная нулю, такая, что f(g(x))=0 и g(f(x))=0.

9. Натуральные числа от 1 до 101 выписаны в ряд в каком-то порядке. Доказать, что из этого ряда всегда можно вычеркнуть 90 чисел так, что оставшиеся 11 будут расположены в порядке возрастания или убывания.

10. У какого из вписанных в данную окружность многоугольников сумма квадратов сторон наибольшая?

9 класс. Вариант А

1. У некоторого числа 2000 различных натуральных делителей. Докажите, что это число больше миллиона.

2. Имеется n точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой). Через каждые две точки проводится прямая. Какое минимальное число направлений могут задать полученные прямые? (параллельные прямые задают одно и то же направление)

3. Ученик не заметил знака умножения между двумя трехзначными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в семь раз больше их произведения. Найдите эти числа (и докажите, что других нет).

4. В некотором государстве все города кроме столицы расположены вдоль одной автомагистрали. Столица соединена с каждым из этих городов отдельной дорогой. Две дорожные компании хотят распределить между собой все отрезки автомагистрали и все дороги так, чтобы из любого города в любой другой (включая столицу) можно было проехать, пользуясь услугами только первой компании, а можно, пользуясь услугами только второй. Возможно ли это?

5. Уравнение f(x)=0, где f(x)=х²+bх+с имеет единственный корень, а уравнение f(f(f(x)))=0 имеет ровно 3 различных корня. Найдите корни последнего уравнения.

6. В параллелограмме ABCD около треугольника АВС описана окружность. Биссектриса угла D пересекает эту окружность вне параллелограмма в точке К, отличной от точки В. Докажите, что прямая ВК не может быть параллельной прямой АС.

7. Девять вершин правильного 20-угольника окрашены в белый цвет. Всегда ли существует равнобедренный треугольник с вершинами в белых точках?

8. На горе 1001 ступенька. На некоторых из них лежит по одному камню. Сизиф берет любой камень и переносит его на ближайшую сверху свободную ступеньку. После этого Аид сбрасывает вниз на одну ступеньку любой камень, под которым есть свободная ступенька. Сизиф и Аид действуют по очереди. В начале камнями заняты 500 нижних ступенек. Начинает Сизиф. Его цель - положить камень на верхнюю ступеньку. Может ли Аид ему помешать?

9 класс. Вариант Б

1. Вся семья выпила по одинаковой чашке кофе с молоком, причем Катя выпила 1/4 налитого по всем чашкам молока и 1/6 часть налитого кофе. Сколько человек в семье?

2. У некоторого числа 2000 различных натуральных делителей. Докажите, что это число больше миллиона.

3. Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.

4. Ученик не заметил знака умножения между двумя трехзначными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в семь раз больше их произведения. Найдите эти числа (и докажите, что других нет).

5. В токийском метро можно проехать с любой станции на любую другую (возможно, с пересадками). Мэр Ишихаро хочет закрыть одну из станций на ремонт (вместе со всеми тоннелями из нее выходящими), сохранив возможность проезда между всеми остальными. Удастся ли ему это сделать?

6. Уравнение f(x)=0, где f(x)=х²+bх+с имеет единственный корень, а уравнение f(f(f(x)))=0 имеет ровно 3 различных корня. Найдите корни последнего уравнения.

7. В параллелограмме ABCD около треугольника АВС описана окружность. Биссектриса угла D пересекает эту окружность вне параллелограмма в точке К, отличной от точки В. Докажите, что прямая ВК не может быть параллельной прямой АС.

8. На горе 1001 ступенька. На некоторых из них лежит по одному камню. Сизиф берет любой камень и переносит его на ближайшую сверху свободную ступеньку. После этого Аид сбрасывает вниз на одну ступеньку любой камень, под которым есть свободная ступенька. Сизиф и Аид действуют по очереди. В начале камнями заняты 500 нижних ступенек. Начинает Сизиф. Его цель - положить камень на верхнюю ступеньку. Может ли Аид ему помешать?

8 класс. Вариант А

1. Участники двух походов решили собраться вместе и обменяться впечатлениями (некоторые из них ходили в оба похода). Известно, что в первом походе юношей было 60%, а во втором - 75%. Докажите, что на общем сборе девушек было не больше, чем юношей.

2. На стороне AC треугольника ABC выбраны две различные точки K и M так, что каждый из отрезков BK и BM делит треугольник ABC на два равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольника ABC.

3. Ира, Гриша и Лена сдавали вступительные экзамены. На каждом экзамене лучший из них получал A баллов, второй - B баллов, третий - C баллов (A>B>C - натуральные числа). В результате Ира получила 22 балла, а Гриша с Леной - по 9 баллов. Кто был вторым по литературе, если первым по математике был Гриша?

4. Двое играют на доске 4*4. Ходят по очереди. За один ход разрешается закрасить любую из ещё не закрашенных клеток (вначале закрашенных клеток нет). Если после хода одного из игроков образуется полностью закрашенный квадрат 2*2, то этот игрок считается проигравшим. Кто выигрывает при правильной игре?

5. В вершинах треугольника записаны числа, не превосходящие по абсолютной величине 1000000. Сумма всех трёх чисел равна 3000. Затем многократно производится следующая операция: вместо каждого из чисел записывается среднее арифметическое двух других (при этом сначала вычисляются три средних арифметических, а потом они одновременно записываются). Докажите, что после 30 таких операций все числа по абсолютной величине станут меньше 1001.

6. На доске написана цифра 1. Барон Мюнхгаузен утверждает, что сумеет последовательно приписывать к ней справа цифры, отличные от 9, так, чтобы число на доске никогда не становилось составным. Прав ли он?

7. Буриданов осёл всегда идёт к той из двух охапок сена, которая ближе к нему. Если же охапки находятся от него на одинаковом расстоянии, он остаётся на месте. По двум пересекающимся прямым дорогам равномерно с равными скоростями двигаются две подводы с сеном. Докажите, что Буридан сможет так поставить своего осла, чтобы тот ни разу не сдвинулся с места.

8. К совершенно секретному сейфу имеют доступ всего 7 человек. Нужно запереть сейф на несколько замков и раздать ключи от них (к одному замку можно делать несколько ключей) этим людям так, чтобы любые четверо из них могли, собрав свои ключи, отпереть сейф, а никакие трое - не могли. Каким наименьшим числом замков можно обойтись?

8 класс. Вариант Б

1. Участники двух походов решили собраться вместе и обменяться впечатлениями (некоторые из них ходили в оба похода). Известно, что в первом походе юношей было 60%, а во втором - 75%. Докажите, что на общем сборе девушек было не больше, чем юношей.

2. На стороне AC треугольника ABC выбраны две различные точки K и M так, что каждый из отрезков BK и BM делит треугольник ABC на два равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольника ABC.

3. Ира, Гриша и Лена сдавали вступительные экзамены. На каждом экзамене лучший из них получал A баллов, второй - B баллов, третий - C баллов (A>B>C - натуральные числа). В результате Ира получила 22 балла, а Гриша с Леной - по 9 баллов. Кто был вторым по литературе, если первым по математике был Гриша?

4. Двое играют на доске 4*4. Ходят по очереди. За один ход разрешается закрасить любую из ещё не закрашенных клеток (вначале закрашенных клеток нет). Если после хода одного из игроков образуется полностью закрашенный квадрат 2*2, то этот игрок считается проигравшим. Кто выигрывает при правильной игре?

5. В вершинах треугольника записаны числа, не превосходящие по абсолютной величине 1000000. Сумма всех трёх чисел равна 3000. Затем многократно производится следующая операция: вместо каждого из чисел записывается среднее арифметическое двух других (при этом сначала вычисляются три средних арифметических, а потом они одновременно записываются). Докажите, что после 30 таких операций все числа по абсолютной величине станут меньше 1001.

6. Найдите 5 чисел, если известны суммы любых трёх из них: 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 14, 15, 17.

7. Буриданов осёл всегда идёт к той из двух охапок сена, которая ближе к нему. Если же охапки находятся от него на одинаковом расстоянии, он остаётся на месте. По двум пересекающимся прямым дорогам равномерно с равными скоростями двигаются две подводы с сеном. Докажите, что Буридан сможет так поставить своего осла, чтобы тот ни разу не сдвинулся с места.

8. Какое максимальное количество брусков 2*2*1 можно расположить внутри куба 3*3*3 (бруски располагаются так, чтобы грани брусков были параллельны граням куба)?