Московская городская математическая олимпиада 1993 года. 8 класс. 1. Обозначим через S(x) сумму цифр натурального числа x. Решить уравнения: а) x + S(x) + S(S(x)) = 1993; б) x + S(x) + S(S(x)) + S(S(S(x))) = 1993. 2. Известно, что число n является суммой квадратов трех натуральных чисел. Доказать, что n^2 тоже является суммой квадратов трех натуральных чисел. 3. На прямой стоят две фишки, слева красная, а справа - синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд в любом месте прямой и удаление любых двух соседних одноцветных фишек. Можно ли за конечное число операций оставить на прямой ровно две фишки: красную справа, а синюю слева? 4. Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего или плохого? 5. Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов, но таковые появляются при приписывании (как справа, так и слева) любой буквы русского алфавита? 6. Окружность с центром D проходит через точки A, B и центр O вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся его стороны DC и продолжений сторон AB и AC. Доказать, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.