Московская городская математическая олимпиада 1993 года. 9 класс. 1. Для двух данных различных точек плоскости A и B найдите геометрическое место таких точек C, что треугольник ABC остроугольный, а его угол A --- средний по величине. 2. Найдите x_1000, если x_1=4, x_2=6, и при любом натуральном n>=3 x --- наименьшее составное число, большее 2x_{n-1}- x_{n-2}. 3. Бумажный треугольник с углами 20, 20 и 140 градусов разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному? 4. У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети? 5. Каждой паре чисел x и y поставлено в соответствие некоторое число x*y. Найдите 1993*1935, если известно, что для любых трех чисел x, y и z выполнены тождества x*x = 0 и x*(y*z) = (x*y)+z. 6. Дан выпуклый четырехугольник ABMC, в котором AB = BC, \angle BAM = 30^\circ, \angle АСМ = 150^\circ. Докажите, что AM --- биссектриса угла BMC.