Московская городская математическая олимпиада 1993 года.
                             10 класс.

     1.  При  разложении чисел A и B в бесконечные десятичные дроби
длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно.
Чему может быть равна длина минимального периода числа A+B?

     2. Дед барона  К.Ф.И.  фон  Мюнхгаузена,  построив  квадратный
замок,  разделил  его  на 9 равных квадратных залов и в центральном
разместил арсенал. Отец барона  разделил  каждый  из  8  оставшихся
залов  на  9  равных квадратных холлов и во всех центральных холлах
устроил зимние сады. Сам барон  разделил  каждый  из  64  свободных
холлов  на  9  равных  квадратных  комнат и в каждой из центральных
комнат устроил бассейн, а остальные сделал жилыми.
     Барон хвастается, что ему удалось обойти  все  жилые  комнаты,
побывав  в  каждой по одному разу, и вернуться в исходную (в каждой
стене между двумя соседними жилыми комнатами проделана дверь).
     Могут ли слова барона быть правдой?

     3. От любой точки на любом из двух берегов реки можно  доплыть
до  другого  берега,  проплыв  не более одного километра. Всегда ли
лоцман может провести корабль вдоль речки так, чтобы находиться все
время на расстоянии не более, чем а) 700 метров б)  800  метров  от
каждого из берегов?
     Примечание.  Известно,  что  река  соединяет два круглых озера
радиусом  10  километров  каждое,  а  береговые  линии  состоят  из
отрезков и дуг окружностей. Корабль следует считать точкой.

     4. Для каждой пары действительных  чисел  a  и  b   рассмотрим
последовательность чисел p_n = [2{an+b}].                
     Любые k подряд идущих членов этой последовательности  назовем
словом. Верно ли, что любой упорядоченный  набор из нулей и единиц
длины k будет словом последовательности, заданной некоторыми a и b
     а) при k=4;
     б) при k=5.
Примечание: [c] - целая часть, а {c} - дробная  часть числа c.

     5. В  ботаническом  определителе   растения  описываются   ста
признаками. Каждый из признаков  может  либо  присутствовать,  либо
отсутствовать.  Определитель  считается  хорошим,  если  любые  два
растения различаются более чем по половине признаков. Доказать, что
в хорошем определителе не может быть описано более 50 растений.

     6. На стороне AB треугольника ABC внешним  образом  построен
квадрат с центром O. Точки  M и N ---  середины сторон AC и BC
соответственно, а длины этих сторон равны  соответственно  a  и  b.
Найти максимум суммы OM + ON, когда угол ACB меняется.