Московская городская математическая олимпиада 1993 года.
                             11 класс.
                             
     1. Известно, что tgA + tgB = p, ctgA + ctgB = q. Найти tg(A+B).
   
     2. Единичный  квадрат  разбит  на  конечное число  квадратиков
(размеры которых могут  различаться).  Может  ли  сумма  периметров
квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993?

     3. Даны n точек на плоскости,  никакие три из которых не лежат
на одной прямой. Через каждую пару точек  проведена  прямая.  Какое
минимальное  число  попарно  непараллельных прямых может быть среди
них?

     4. В ящиках лежат камни. За один ход выбирается число k, затем
камни  в ящиках делятся на группы по k штук и остаток менее, чем из
k штук. Оставляют по одному камню из каждой группы и весь  остаток.

Можно  ли  за  5  ходов  добиться, чтобы в ящиках осталось ровно по
одному  камню,  если  в  каждом  из  них  
а) не более 460 камней;
б) не более 461 камня?

     5. а) Известно, что 
           область определения функции f(x) --- отрезок [-1, 1],  
           и  f(f(x)) = -x  при  всех  x,  а ее график является 
           объединением конечного числа точек и интервалов. 
           Нарисовать  график функции f(x).
        б) Можно  ли  это сделать, если 
           область определения функции --- интервал (-1, 1)? 
           Вся числовая ось?

     6. Муха летает внутри правильного тетраэдра с ребром a.  
     Какое наименьшее расстояние она должна пролететь,  
     чтобы  побывать на каждой грани и вернуться в исходную точку?