#C#i69 Московская городская математическая олимпиада 1993 года. 8 класс. 1. Обозначим через S(x) сумму цифр натурального числа x. Решить уравнения: а) x + S(x) + S(S(x)) = 1993; б) x + S(x) + S(S(x)) + S(S(S(x))) = 1993. 2. Известно, что число n является суммой квадратов трех#i75 2 #i150 натуральных чисел. Доказать, что n тоже является суммой квадратов#i69 трех натуральных чисел. 3. На прямой стоят две фишки, слева красная, а справа - синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд в любом месте прямой и удаление любых двух соседних одноцветных фишек. Можно ли за конечное число операций оставить на прямой ровно две фишки: красную справа, а синюю слева? 4. Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего или плохого? 5. Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов, но таковые появляются при приписывании (как справа, так и слева) любой буквы русского алфавита? 6. Окружность с центром D проходит через точки A, B и центр O вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся его стороны DC и продолжений сторон AB и AC. Доказать, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности. ------------------------------------------------------------------- Московская городская математическая олимпиада 1993 года. 8 класс. 1. Обозначим через S(x) сумму цифр натурального числа x. Решить уравнения: а) x + S(x) + S(S(x)) = 1993; б) x + S(x) +S(S(x)) + S(S(S(x))) = 1993. 2. Известно, что число n является суммой квадратов трех#i75 2 #i150 натуральных чисел. Доказать, что n тоже является суммой квадратов#i69 трех натуральных чисел. 3. На прямой стоят две фишки, слева красная, а справа - синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд в любом месте прямой и удаление любых двух соседних одноцветных фишек. Можно ли за конечное число операций оставить на прямой ровно две фишки: красную справа, а синюю слева? 4. Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего или плохого? 5. Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов, но таковые появляются при приписывании (как справа, так и слева) любой буквы русского алфавита? 6. Окружность с центром D проходит через точки A, B и центр O вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся его стороны DC и продолжений сторон AB и AC. Доказать, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности. #C#i50 Московская городская математическая олимпиада 1993 года. 9 класс. 1. Для двух данных различных точек плоскости A и B найдите геометрическое место таких точек C, что треугольник ABC остроугольный, а его угол A - средний по величине. 2. Найдите x , если x = 4, x = 6, и при любом натуральном#i150 1000 1 2 #i75 n#б3 x - наименьшее составное число, большее 2x - x . #i150 n n-1 n-2 #i50 o o o #i150 3. Бумажный треугольник с углами 20 , 20 , 140 разрезается по#i50 одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному? 4. У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети? 5. Каждой паре чисел x и y поставлено в соответствие некоторое число x*y. Найдите 1993*1935, если известно, что для любых трех чисел x, y и z выполнены тождества x*x = 0 и x*(y*z) = (x*y)+z. 6. Дан выпуклый четырехугольник ABMC, в котором AB = BC,#i75 o o #i150 #yBAM = 30 , #yАСМ = 150 . Докажите, что AM - биссектриса угла BMC.#i50 -------------------------------------------------------------------- Московская городская математическая олимпиада 1993 года. 9 класс. 1. Для двух данных различных точек плоскости A и B найдите геометрическое место таких точек C, что треугольник ABC остроугольный, а его угол A - средний по величине. 2. Найдите x , если x = 4, x = 6, и при любом натуральном#i150 1000 1 2 #i75 n#б3 x - наименьшее составное число, большее 2x - x . #i150 n n-1 n-2 #i50 o o o #i150 3. Бумажный треугольник с углами 20 , 20 , 140 разрезается по#i50 одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному? 4. У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети? 5. Каждой паре чисел x и y поставлено в соответствие некоторое число x*y. Найдите 1993*1935, если известно, что для любых трех чисел x, y и z выполнены тождества x*x = 0 и x*(y*z) = (x*y)+z. 6. Дан выпуклый четырехугольник ABMC, в котором AB = BC,#i75 o o #i150 #yBAM = 30 , #yACM = 150 . Докажите, что AM - биссектриса угла BMC.#i50 #C#i60 Московская городская математическая олимпиада 1993 года. 8 класс. 1. Обозначим через S(x) сумму цифр натурального числа x. Решить уравнения: а) x + S(x) + S(S(x)) = 1993; б) x + S(x) +S(S(x)) + S(S(S(x))) = 1993. 2. Известно, что число n является суммой квадратов трех#i75 2 #i150 натуральных чисел. Доказать, что n тоже является суммой квадратов#i60 трех натуральных чисел. 3. На прямой стоят две фишки, слева красная, а справа - синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд в любом месте прямой и удаление любых двух соседних одноцветных фишек. Можно ли за конечное число операций оставить на прямой ровно две фишки: красную справа, а синюю слева? 4. Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего или плохого? 5. Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов, но таковые появляются при приписывании (как справа, так и слева) любой буквы русского алфавита? 6. Окружность с центром D проходит через точки A, B и центр O вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся его стороны DC и продолжений сторон AB и AC. Доказать, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности. ------------------------------------------------------------------- Московская городская математическая олимпиада 1993 года. 9 класс. 1. Для двух данных различных точек плоскости A и B найдите геометрическое место таких точек C, что треугольник ABC остроугольный, а его угол A - средний по величине. 2. Найдите x , если x = 4, x = 6, и при любом натуральном#i150 1000 1 2 #i75 n#б3 x - наименьшее составное число, большее 2x - x . #i150 n n-1 n-2 #i60 o o o #i150 3. Бумажный треугольник с углами 20 , 20 , 140 разрезается по#i60 одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному? 4. У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети? 5. Каждой паре чисел x и y поставлено в соответствие некоторое число x*y. Найдите 1993*1935, если известно, что для любых трех чисел x, y и z выполнены тождества x*x = 0 и x*(y*z) = (x*y)+z. 6. Дан выпуклый четырехугольник ABMC, в котором AB = BC,#i75 o o #i150 #yBAM = 30 , #yACM = 150 . Докажите, что AM - биссектриса угла BMC.#i60 #C#i46 _____Московская городская математическая олимпиада 1993 года. 10 класс. 1. При разложении чисел A и B в бесконечные десятичные дроби длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна длина минимального периода числа A+B? 2. Дед барона К.Ф.И. фон Мюнхгаузена, построив квадратный замок, разделил его на 9 равных квадратных залов и в центральном разместил арсенал. Отец барона разделил каждый из 8 оставшихся залов на 9 равных квадратных холлов и во всех центральных холлах устроил зимние сады. Сам барон разделил каждый из 64 свободных холлов на 9 равных квадратных комнат и в каждой из центральных комнат устроил бассейн, а остальные сделал жилыми. Барон хвастается, что ему удалось обойти все жилые комнаты, побывав в каждой по одному разу, и вернуться в исходную (в каждой стене между двумя соседними жилыми комнатами проделана дверь). Могут ли слова барона быть правдой? 3. От любой точки на любом из двух берегов реки можно доплыть до другого берега, проплыв не более одного километра. Всегда ли лоцман может провести корабль вдоль речки так, чтобы находиться все время на расстоянии не более, чем а) 700 метров б) 800 метров от каждого из берегов? Примечание. Известно, что река соединяет два круглых озера радиусом 10 километров каждое, а береговые линии состоят из отрезков и дуг окружностей. Корабль следует считать точкой. 4. Для каждой пары действительных чисел a и b рассмотрим последовательность чисел p = [2{an+b}]. #i150 n #i65 Любые k подряд идущих членов этой последовательности назовем#i46 словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из нулей и единиц длины k будет словом последовательности, заданной некоторыми a и b а) при k=4; б) при k=5. Примечание: [c] - целая часть, а {c} - дробная часть числа c. 5. В ботаническом определителе растения описываются ста признаками. Каждый из признаков может либо присутствовать, либо отсутствовать. Определитель считается хорошим, если любые два растения различаются более чем по половине признаков. Доказать, что в хорошем определителе не может быть описано более 50 растений. 6. На стороне AB треугольника ABC внешним образом построен квадрат с центром O. Точки M и N - середины сторон AC и BC соответственно, а длины этих сторон равны соответственно a и b. Найти максимум суммы OM + ON, когда угол ACB меняется. #C#i65 ______Московская городская математическая олимпиада 1993 года. 11 класс. 1. Известно, что tgA + tgB = p, ctgA + ctgB = q. Найти tg(A+B). 2. Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993? 3. Даны n точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждую пару точек проведена прямая. Какое минимальное число попарно непараллельных прямых может быть среди них? 4. В ящиках лежат камни. За один ход выбирается число k, затем камни в ящиках делятся на группы по k штук и остаток менее, чем из k штук. Оставляют по одному камню из каждой группы и весь остаток. Можно ли за 5 ходов добиться, чтобы в ящиках осталось ровно по одному камню, если в каждом из них а) не более 460 камней; б) не более 461 камня? 5. а) Известно, что область определения функции f(x) - отрезок [-1, 1], и f(f(x)) = -x при всех x, а ее график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график функции f(x). б) Можно ли это сделать, если область определения функции - интервал (-1, 1)? Вся числовая ось? 6. Муха летает внутри правильного тетраэдра с ребром a. Какое наименьшее расстояние она должна пролететь, чтобы побывать на каждой грани и вернуться в исходную точку? ------------------------------------------------------------------- Московская городская математическая олимпиада 1993 года. 11 класс. 1. Известно, что tgA + tgB = p, ctgA + ctgB = q. Найти tg(A+B). 2. Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993? 3. Даны n точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждую пару точек проведена прямая. Какое минимальное число попарно непараллельных прямых может быть среди них? 4. В ящиках лежат камни. За один ход выбирается число k, затем камни в ящиках делятся на группы по k штук и остаток менее, чем из k штук. Оставляют по одному камню из каждой группы и весь остаток. Можно ли за 5 ходов добиться, чтобы в ящиках осталось ровно по одному камню, если в каждом из них а) не более 460 камней; б) не более 461 камня? 5. а) Известно, что область определения функции f(x) - отрезок [-1, 1], и f(f(x)) = -x при всех x, а ее график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график функции f(x). б) Можно ли это сделать, если область определения функции - интервал (-1, 1)? Вся числовая ось? 6. Муха летает внутри правильного тетраэдра с ребром a. Какое наименьшее расстояние она должна пролететь, чтобы побывать на каждой грани и вернуться в исходную точку? #C 4. Петя заметил, что каждые двое из всех 28 его одноклассников дружат с разным числом одноклассников. Со сколькими одноклассниками дружит Петя? 5. На множестве всех пар вещественных чисел рассматривается операция *. Известно, что для любых трех чисел x, y, z выполнены тождества x*x = 0 и x*(y*z) = (x*y)+z. Найдите 1993*1936. 4. Для каждой пары действительных чисел a и b рассмотрим последовательность чисел p = [2{an+b}]. #i150 n #i75 Любые k подряд идущих членов этой последовательности назовем#i55 словом. Верно ли, что для любого упорядоченного набора из нулей и единиц найдутся такие a и b, что данный набор будет словом последовательности, заданной предыдущей формулой? Разобрать случаи: а) k=4; б) k=5. Примечание: [c] и {c} - соответственно целая и дробная части числа c. 5. а) Нарисуйте график функции f(x), являющийся объединением конечного числа точек и интервалов, при условии, что область определения функции - отрезок [-1, 1], и f(f(x)) = -x. б) Можно ли это сделать, если область определения функции - интервал (-1, 1)? Вся числовая ось? 6. Муха летает внутри правильного тетраэдра. Она норовит выбрать точку на одной из граней, сесть в нее, отдохнуть, а затем поочередно слетать на три остальные и вернуться в ту же точку первой грани так, чтобы ее суммарный путь (после отдыха) был кратчайшим. Найти длину этого кратчайшего пути, если ребро тетраэдра равно a. 1. На плоскости даны две различные точки A и B. Найдите геометрическое место таких точек C, что треугольник ABC остроугольный, и угол A в нем - средний по величине.