Состав и результаты команды | Московский отборочный тур: | 9 класс | 10 класс
Олимпиада состоялась в городе Тверь с 19.04.2001 по 26.04.2001;
условия задач и полные списки победителей и призеров смотрите здесь.
В команду включались школьники, обучающиеся на территории г. Москвы и удовлетворяющие хотя бы одному из следующих условий:
N | Фамилия, имя | класс | школа | основание | результаты на всероссийской олимпиаде |
1. | Воронин Борис | 9 | 2 | результаты 64 ММО и отборочного тура | Похвальная грамота |
2. | Горин Вадим | 9 | 57 | диплом 1 степени на 64 ММО | Диплом 3 степени |
3. | Поршнев Евгений | 9 | 57 | диплом 1 степени на 64 ММО | - |
4. | Раскин Михаил | 9 | 57 | диплом 1 степени на 64 ММО | - |
5. | Родионов Павел | 9 | 57 | диплом 1 степени на 64 ММО | Диплом 3 степени |
6. | Сидоров Иван | 9 | 2 | диплом 1 степени на 64 ММО | Похвальная грамота |
7. | Тихонов Михаил | 9 | 57 | результаты 64 ММО и отборочного тура | - |
8. | Кудряшов Юрий | 10 | 18 | диплом 1 степени на 64 ММО | Диплом 1 степени |
9. | Митричев Петр | 10 | 57 | персональное приглашение | Похвальная грамота |
10. | Позовной Олег | 10 | 2 | результаты 64 ММО и отборочного тура | Диплом 3 степени |
11. | Рычёв Владимир | 10 | 57 | результаты 64 ММО и отборочного тура | - |
12. | Шуткин Юрий | 10 | 18 | результаты 64 ММО и отборочного тура | - |
13. | Акопян Арсений | 11 | 2 | персональное приглашение | Диплом 2 степени |
14. | Горский Евгений | 11 | 57 | диплом 2 степени на 64 ММО | Похвальная грамота |
15. | Гусев Глеб | 11 | 57 | диплом 2 степени на 64 ММО | Диплом 1 степени |
16. | Клименко Алексей | 11 | 57 | диплом 2 степени на 64 ММО | Похвальная грамота |
17. | Межиров Илья | 11 | 57 | персональное приглашение | Диплом 3 степени |
18. | Мусатов Даниил | 11 | 1543 | диплом 2 степени на 64 ММО | Похвальная грамота |
19. | Румянцев Андрей | 11 | 18 | диплом 1 степени на 64 ММО | Диплом 1 степени |
1. Напомним правила игры "Жизнь". На клетчатом листе стоит несколько фишек. Их расположение во всех клетках одновременно меняется следующим образом. Если в клетках, соседних с данной (по стороне или углу), стоит ровно 3 фишки, то в данную клетку ставится фишка (если ее не было). Если в соседних клетках более 3 или менее 2 фишек, то фишка снимается (если она была). Если в соседних клетках ровно 2 фишки, то состояние клетки не меняется.
Докажите, что в игре "Жизнь" на квадрате 2001*2001 существует конфигурация, не имеющая прообраза.
2. Докажите, что равенство |x!-yy|=n при любом натуральном n имеет лишь конечное число решений в натуральных числах x, y.
3. Дан треугольник ABC. На прямой AB отметим точку C'. Вокруг треугольников ACC' и BCC' опишем окружности и отметим вторые точки A' и B' их пересечения с прямыми BC и AC соответственно. Вокруг треугольников A'AB и ABB' опишем окружности и отметим их вторые точки пересечения B'' и A'' с прямыми AC и BC и т.д. Сколько точек будет отмечено на прямой AB после построения 2001 окружности?
4. Существует ли такая функция f(x), определенная на всей оси и отличная от константы, что при всех x, y, z выполнено неравенство
f(x+y)+f(y+z)+f(z+x)>4f(x+2y+3z) ?
5. Единичный квадрат разбит на три многоугольника. Докажите, что диаметр хотя бы одного из них не меньше 651/2/8.
6. На плоскости отмечено 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, причём все попарные расстояния между ними различны. Докажите, что среди треугольников с вершинами в этих точках найдутся два треугольника с общей стороной такой, что для одного эта сторона является наибольшей, а для другого - наименьшей.
1. Фокусник угадывает поочередно масть всех карт в колоде из 52 карт. После каждого ответа ему сообщают, угадал он или ошибся. Докажите, что существует стратегия, позволяющая угадать не менее 13 карт, и нет стратегии, позволяющей гарантированно угадать больше.
2. Внутри треугольника ABC взята точка O. Обозначим через A1, B1, C1 проекции точки O на прямые BC, CA, AB соответственно. Через A2, B2, C2 обозначим вторые точки пересечения прямых AO, BO, CO с описанной окружностью треугольника ABC. Докажите, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны.
3. Докажите, что неравенство |x!-yy|<n при любом натуральном n имеет лишь конечное число решений в натуральных числах x, y.
4. Найдите для каждого натурального n>1 все функции (не обязательно непрерывные), которые удовлетворяют уравнению f(x+y)=fn(x)+fn(y).
5. Дано k последовательностей
s1,... , sk длины n,
состоящих из +1. Докажите, что можно найти такую последовательность
s, состоящую из +1, что количество последовательностей,
принадлежащих одновременно обоим множествам
{s1,..., sk} и {ss1,..., ssk}
не превосходит k2/2n.
(Произведением последовательностей
{xi} и {yi}
называется последовательность
{xiyi}.)
6. Прямые разбивают верхнюю полуплоскость на многоугольники, диаметр каждого из которых меньше 1, и все стороны и площадь больше 0.000001. Докажите, что один из них можно выдвинуть вниз, не смещая остальные.