Команда Москвы на Всероссийской математической олимпиаде 2001

Состав и результаты команды | Московский отборочный тур: | 9 класс | 10 класс

Олимпиада состоялась в городе Тверь с 19.04.2001 по 26.04.2001;
условия задач и полные списки победителей и призеров смотрите здесь.

В команду включались школьники, обучающиеся на территории г. Москвы и удовлетворяющие хотя бы одному из следующих условий:

• Имеющие персональные приглашения по результатам выступления на Всероссийской математической олимпиаде 1990/2000 учебного года (дипломы 1 и 2 степени).
• Получившие первые премии на 64 Московской математической олимпиаде.
• Учащиеся 11 класса, получившие вторые премии на 64 Московской математической олимпиаде.
• Имеющие наилучшие результаты по совокупности выступлений на 64 Московской математической олимпиаде и московском отборочном туре, на который приглашались учащиеся 9 и 10 классов, получившие на 64 Московской математической олимпиаде дипломы 2 или 3 степени.

Состав и результаты команды г. Москвы на Всероссийской математической олимпиаде - 2001

Московский отборочный тур на Всероссийскую математическую олимпиаду - 2000

9 класс

1. Напомним правила игры "Жизнь". На клетчатом листе стоит несколько фишек. Их расположение во всех клетках одновременно меняется следующим образом. Если в клетках, соседних с данной (по стороне или углу), стоит ровно 3 фишки, то в данную клетку ставится фишка (если ее не было). Если в соседних клетках более 3 или менее 2 фишек, то фишка снимается (если она была). Если в соседних клетках ровно 2 фишки, то состояние клетки не меняется.

Докажите, что в игре "Жизнь" на квадрате 2001*2001 существует конфигурация, не имеющая прообраза.

2. Докажите, что равенство |x!-y^y|=n при любом натуральном n имеет лишь конечное число решений в натуральных числах x, y.

3. Дан треугольник ABC. На прямой AB отметим точку C'. Вокруг треугольников ACC' и BCC' опишем окружности и отметим вторые точки A' и B' их пересечения с прямыми BC и AC соответственно. Вокруг треугольников A'AB и ABB' опишем окружности и отметим их вторые точки пересечения B'' и A'' с прямыми AC и BC и т.д. Сколько точек будет отмечено на прямой AB после построения 2001 окружности?

4. Существует ли такая функция f(x), определенная на всей оси и отличная от константы, что при всех x, y, z выполнено неравенство

f(x+y)+f(y+z)+f(z+x)>4f(x+2y+3z) ?

5. Единичный квадрат разбит на три многоугольника. Докажите, что диаметр хотя бы одного из них не меньше 65^1/2/8.

6. На плоскости отмечено 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, причём все попарные расстояния между ними различны. Докажите, что среди треугольников с вершинами в этих точках найдутся два треугольника с общей стороной такой, что для одного эта сторона является наибольшей, а для другого - наименьшей.

10 класс

1. Фокусник угадывает поочередно масть всех карт в колоде из 52 карт. После каждого ответа ему сообщают, угадал он или ошибся. Докажите, что существует стратегия, позволяющая угадать не менее 13 карт, и нет стратегии, позволяющей гарантированно угадать больше.

2. Внутри треугольника ABC взята точка O. Обозначим через A₁, B₁, C₁ проекции точки O на прямые BC, CA, AB соответственно. Через A₂, B₂, C₂ обозначим вторые точки пересечения прямых AO, BO, CO с описанной окружностью треугольника ABC. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

3. Докажите, что неравенство |x!-y^y|<n при любом натуральном n имеет лишь конечное число решений в натуральных числах x, y.

4. Найдите для каждого натурального n>1 все функции (не обязательно непрерывные), которые удовлетворяют уравнению f(x+y)=fⁿ(x)+fⁿ(y).

5. Дано k последовательностей s₁,... , s_k длины n, состоящих из +1. Докажите, что можно найти такую последовательность s, состоящую из +1, что количество последовательностей, принадлежащих одновременно обоим множествам
{s₁,..., s_k} и {ss₁,..., ss_k}
не превосходит k²/2ⁿ. (Произведением последовательностей {x_i} и {y_i} называется последовательность {x_iy_i}.)

6. Прямые разбивают верхнюю полуплоскость на многоугольники, диаметр каждого из которых меньше 1, и все стороны и площадь больше 0.000001. Докажите, что один из них можно выдвинуть вниз, не смещая остальные.

11 класс