Комментарий жюри окружного этапа
Московской региональной олимпиады по математике

Комментарий по задаче 11-4

К сожалению, отдельные участники олимпиады при решении этой задачи исходили из того, что постоянная функция не имеет точек экстремума. Видимо они использовали определение точек экстремума, которые, к сожалению, попали в некоторые учебники для 10-11 классов, где точки экстремума определяются как точки строгого экстремума («x₀ является точкой максимума [минимума] функции f(x), если для всех x из некоторой окрестности x₀ (кроме ее самой) выполняется неравенство f(x) < f(x₀) [f(x) > f(x₀)].») При этом точки нестрогого экстремума (минимума, максимума) в некоторых их этих учебников вообще не рассматриваются.

Такой подход не соответствует общепринятому в классическом математическом анализе, приводит к потере, в частности, таких фундаментальных фактов как теорема о наличии экстремума у непрерывной функции, принимающей одинаковые значения на концах отрезка, и в итоге неверно формирует интуицию школьника в данной области.

Неслучайно некоторые из этих учебников не имеют грифа Министерства Образования!

Отметим, что методическая комиссия и жюри Московской математической олимпиады, руководствуются действующими программами по математике (в том числе на профильном и углубленном уровнях), традициями математического образования в России, традициями содержания заданий Московской математической олимпиады за более чем 70 лет ее существования, и не могут учесть особенностей изложения конкретных тем в каждом из учебников, обильно издаваемых в последнее время.

Рекомендуем учителям и учащимся, при подготовке к олимпиадам руководствоваться классическими трактовками математических понятий.

При проверке решений этой задачи жюри руководствовалось следующими дополнительными критериями:

Школьники, доказавшие, что непрерывная функция, заданная в условии, принимает на концах отрезка [0; 1] одинаковые значения, а потом сделавшие неверный вывод об отсутствии у нее точек экстремума, получили оценку +–.

Школьники, которые сразу написали, что постоянная функция f(x) = 0,5 удовлетворяет условию, но не имеет точек экстремума, получили оценку +/2, так как в итоге решали другую задачу, существенно более простую.

Контактный e-mail городского оргкомитета mmo@mccme.ru