Математическая регата 8 классов 18.05.2002

Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов)

1.1. Известно, что a(1-b)>1/4, где а и b - положительные числа. Какое из чисел больше: а или b?

1.2 В трапеции АВСD (AD||BC): АВ=BC=0,5AD. Найдите /ACD.

1.3. По кольцевой линии в одном направлении курсируют с одинаковой скоростью и равными интервалами 12 трамваев. Сколько трамваев нужно добавить, чтобы при той же скорости интервалы между трамваями уменьшились на одну пятую?

Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

2.1. Решите систему:

x+y+z	=	0
xy+yz+zx	>	0

2.2. В треугольнике АВС проведена биссектриса AK. Известно, что совпадают центры двух окружностей: вписанной в треугольник ABK и описанной около треугольника ABС. Найдите углы треугольника АВС.

2.3. Найдите все целые значения m такие, что выражение (2m+7)/(5m+11) принимает целые значения.

Третий тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов)

3.1. Существуют ли такие числа а, b, c, k, m, n, x, y и z, что amz>0; bnx>0; cky>0; any<0; bkz<0; cmx<0 ?

3.2. Расположите на плоскости 6 точек так, чтобы каждые три из них являлись вершинами равнобедренного треугольника. Ответ поясните.

3.3. Играя с компьютером, Антон выиграл 60% партий. Отдохнув, он выиграл еще 10 партий подряд, и процент выигранных партий достиг 70%. Какое наименьшее количество партий он должен еще сыграть и сколько из них выиграть, чтобы в итоге количество выигранных партий опять составило 60%?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов)

4.1. Найдите все положительные решения системы уравнений

{	a+b=c2
	b+c=d2
	c+d=a2
	d+a=b2

4.2. Меньший катет АС прямоугольного треугольника ABC имеет длину b. На гипотенузе AB выбрана такая точка D, что BD=BC. На катете BC взята такая точка E, что DE=BE=m. Найдите периметр четырехугольника ADЕC.

4.3. Веревку сложили пополам, потом еще раз пополам, потом снова пополам, а затем разрезали в каком-то месте. Какова может быть длина веревки, если известно, что какие-то два из получившихся кусков имеют длины 9 м и 4 м?

Результаты