Математическая регата 8 классов 18.05.2001

Задания | Результаты | Решения (doc-файл)

Задания


Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов)

1.1. Известно, что a(1-b)>1/4, где а и b - положительные числа. Какое из чисел больше: а или b?

1.2 В трапеции АВСD (AD||BC): АВ=BC=0,5AD. Найдите /ACD.

1.3. По кольцевой линии в одном направлении курсируют с одинаковой скоростью и равными интервалами 12 трамваев. Сколько трамваев нужно добавить, чтобы при той же скорости интервалы между трамваями уменьшились на одну пятую?


Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

2.1. Решите систему:
x+y+z=0
xy+yz+zx>0

2.2. В треугольнике АВС проведена биссектриса AK. Известно, что совпадают центры двух окружностей: вписанной в треугольник ABK и описанной около треугольника ABС. Найдите углы треугольника АВС.

2.3. Найдите все целые значения m такие, что выражение (2m+7)/(5m+11) принимает целые значения.


Третий тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов)

3.1. Существуют ли такие числа а, b, c, k, m, n, x, y и z, что amz>0; bnx>0; cky>0; any<0; bkz<0; cmx<0 ?

3.2. Расположите на плоскости 6 точек так, чтобы каждые три из них являлись вершинами равнобедренного треугольника. Ответ поясните.

3.3. Играя с компьютером, Антон выиграл 60% партий. Отдохнув, он выиграл еще 10 партий подряд, и процент выигранных партий достиг 70%. Какое наименьшее количество партий он должен еще сыграть и сколько из них выиграть, чтобы в итоге количество выигранных партий опять составило 60%?


Четвертый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов)

4.1. Найдите все положительные решения системы уравнений
{a+b=c2
b+c=d2
c+d=a2
d+a=b2

4.2. Меньший катет АС прямоугольного треугольника ABC имеет длину b. На гипотенузе AB выбрана такая точка D, что BD=BC. На катете BC взята такая точка E, что DE=BE=m. Найдите периметр четырехугольника ADЕC.

4.3. Веревку сложили пополам, потом еще раз пополам, потом снова пополам, а затем разрезали в каком-то месте. Какова может быть длина веревки, если известно, что какие-то два из получившихся кусков имеют длины 9 м и 4 м?


Результаты

команда
школы
тур 1тур 2тур 3тур 4Итоговый
балл
Диплом
123123123123
1543Г166771808159591
366755808009571
1543Е166775808900571
146774088109552
82А665706088009552
5Б Долгопрудный106732888109532
1543Д066700888108522
666700844109512
004770888006483
106601888009473
218Г066700888004473
066700881109463
5А Долгопрудный10643188410945 
1101Д06670086119044 
1514А15670688110043 
153401610180890943 
1543Б00671086510943 
06607018800642 
82Б04670088810042 
218А06070386010637 
66672010710036 
1189А10371486500035 
1514Б13670180010633 
04600080500831 
1189Б61600380010631 
109А10610786010030 
1101Б16070180010226 
218Б13070184000024 
218Д13600180410024 
654Б00010706810124 
1101В10000084100923 
Квантик10070602050021 
00657000000119 
152А00100188010019 
218В10170180010019 
654А10600100000917 
4291000001600008 
1018Б1000011301007 
1018А0000014000005 
1101А1100010000003 
109Б0000010000001 
9290000000000000 
Жёлтым цветом выделены оценки, проставленные после апелляции.
Rambler's
Top100 Rambler's Top100