Математическая регата 8 классов 18.10.2003

1.1. Докажите, что .

1.2. Из вершины А параллелограмма АВСD проведены высоты AK и AM. Может ли оказаться так, что точка K лежит на стороне параллелограмма, а точка М √ на продолжении стороны?

1.3. Существуют ли три последовательных натуральных числа, каждое из которых делится на квадрат какого-нибудь натурального числа, отличного от единицы?

2.1. Числа a, b, c и d таковы, что a + b = c + d и a² + b² = c² + d². Верно ли, что a³ + b³ = c³ + d³?

2.2. В трапеции АВСD диагонали АС и BD перпендикулярны. На большем основании AD выбрана точка М так, что BM = MD = 3 см. Найдите длину средней линии трапеции.

2.3. В круговом турнире каждый участник встретился с каждым один раз (победа √ 1 очко, ничья √ 0,5 очка, поражение √ 0). Единоличным победителем турнира стал Иванов. Затем, за употребление допинга был дисквалифицирован Петров, результаты всех игр с его участием были аннулированы, и единоличным победителем оказался Сидоров. Петров утверждает, что если бы дисквалифицировали не его, а Сидорова, то он (Петров) стал бы единоличным победителем. Может ли это быть правдой?

3.1. Решите уравнение: 2x² + 5y² √ 4xy √ 2y √ 4x + 5 = 0.

3.2. В прямоугольнике АВСD точка М √ середина стороны ВС, точка N √ середина стороны СD, Р √ точка пересечения отрезков DМ и ВN. Докажите, что Ð МАN = Ð ВРМ.

3.3. У Золотой рыбки записаны и перенумерованы подряд все знакомые. Половина из них √ щуки, треть √ окуни, а все знакомые с номерами, делящимися на 4, √ караси. Сколько всего знакомых у Золотой рыбки?

4.1. Верно ли, что все корни уравнения , где a, b и c √ данные натуральные числа, являются целыми числами?

4.2. В выпуклом четырехугольнике АВСD: АD = ВС; Ð ABD + Ð CDB = 180° . Докажите, что Ð BАD = Ð ВCD.

4.3. Дан круг радиуса 10см. На одном из его радиусов отмечены пять точек: на расстояниях 1, 3, 5, 7 и 9 см от центра соответственно. Разрежьте этот круг на 5 равных частей так, чтобы в каждой части оказалась ровно одна точка.