Математическая регата 9 классов 18.10.2003

1.1. Даны два квадратных трехчлена, сумма коэффициентов каждого из которых равна 1. Эти трехчлены перемножили и получили многочлен. Найдите сумму его коэффициентов.

1.2. Каждая из высот параллелограмма не меньше той стороны, которой она перпендикулярна. Найдите угол между диагоналями параллелограмма.

1.3. Турнир по боксу проходил по ╓олимпийской системе╞ (в каждом круге проигравшие выбывают, отдыхающих нет). Сколько боксеров участвовало в турнире, если по окончании турнира выяснилось, что 32 человека выиграло боев больше, чем проиграло?

2.1. Известно, что положительные числа a и b удовлетворяют неравенству: . Докажите, что одно из этих чисел больше 1, а другое √ меньше 1.

2.2. Можно ли разрезать прямоугольный треугольник с углом 30╦ на подобные непрямоугольные треугольники?

2.3. Сколько существует не равных между собой треугольников, длины сторон которых √ натуральные числа, а периметр равен 20?

3.1. Дан квадратный трёхчлен ax² + bx + c, все коэффициенты которого отличны от нуля. Ваня и Петя должны найти количество его корней. Ваня случайно поменял местами коэффициенты a и b и получил, что трехчлен имеет один корень. Петя вместо этого поменял местами b и c и также получил, что корень √ один. Сколько корней у трёхчлена на самом деле?

3.2. Дана трапеция, основания которой имеют длины 4 и 5. Пользуясь только односторонней линейкой (без делений), постройте отрезок длины 1.

3.3. Из простого двузначного числа вычли число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, которое также оказалось простым, и получили квадрат натурального числа. Каким могло быть исходное число?

4.1. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения y √ x², если |x|+|y|÷13.

4.2. Даны треугольник АВС и точки D и Е такие, что Р АDВ = Р ВЕС = 90╦ . Докажите, что длина отрезка DE не превосходит половины периметра треугольника АВС.

4.3. Может ли число, десятичная запись которого содержит более одной цифры, равняться произведению своих цифр?

5.1. Найдите, какие значения может принимать сумма , если известно, что и x ╪ y.

5.2. В выпуклом четырехугольнике АВСD: Р ABD = Р CDB = 60╦ , Р ВСA = Р CАD = 30╦ . Найдите ВD, если АВ = 2 см.

5.3. Даны 70 различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 200. Докажите, что хотя бы два из них отличаются на 4, 5 или 9.