Математическая регата 11 классов 10.12.2005

1.1. Известно, что каждое из двух квадратных уравнений f(x)= 0 и g(x) = 0 имеет ровно один действительный корень, причем эти корни различны. Может ли уравнение f(x) + g(x) = 0 также иметь ровно один действительный корень?

1.2. Сумма расстояний от каждой внутренней точки выпуклого пятиугольника до всех прямых, содержащих его стороны, одна и та же. Верно ли, что этот пятиугольник обязательно является правильным?

1.3. Натуральное число называется примарным, если оно является степенью простого числа с натуральным показателем (например, 7¹ или 13⁴). Найдите самую длинную цепочку примарных чисел, идущих подряд.

2.1. Существуют ли две функции f(x) и g(x), определенные на R и тождественно не равные нулю, такие, что f(g(x)) тождественно равно нулю и g(f(x)) тождественно равно нулю?

2.2. На параллельных веревках длины а подвешена балка длины b. Ее повернули вокруг вертикальной оси на угол 60^o так, что в процессе поворота веревки оставались натянутыми. На какую высоту поднялась балка?

2.3. Найдите все целые решения уравнения: x² - 2xy + 2x - y + 1 = 0.

3.1. Решите систему уравнений: x+y²=z³; x²+y³=z⁴; x³+y⁴=z⁵.

3.2.Известно, что длина каждой биссектрисы треугольника не превосходит 1. Найдите наибольшее значение площади треугольника.

3.3. Пятнадцать команд играют турнир в один круг (каждая встречается с каждой один раз). Докажите, что в некотором матче встретятся команды, сыгравшие до этого в сумме нечетное количество матчей.

4.1.Докажите, что если а>= 0, b>= 0, c >= 0 и a + b + c = 3, то \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}>=ab+bc+ac.

4.2.В тетраэдре РАВС высота, опущенная из вершины Р, проходит через ортоцентр треугольника АВС. Найдите отношение площадей граней РАВ и РАС, если РС = 6 -\sqrt{2}; РВВС = 2\sqrt{19}.

4.3.Существует ли такое натуральное число N, что если приписать его к самому себе, то получится полный квадрат?

5.1. Зная, что sina > 0 и sin3a > 0,25, докажите, что sina>109/1296.

5.2. В окружность вписан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. На большем катете ВС взята точка D так, что АС = BD. Найдите угол DEC, где Е - середина дуги АВ, содержащей точку С.

5.3. На поверхности кубика Рубика в каждом из 54 квадратиков проведена одна диагональ. Могут ли эти диагонали образовывать замкнутую траекторию, не имеющую самопересечений? (Кубик Рубика представляет собой куб, составленный из 27 одинаковых кубиков.)