Математическая регата 8 классов 19.11.2005

Задания | Результаты | Решения (doc-файл)

8 класс.

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Дан график линейной функции y = ax + b (см. рисунок). Найдите значение выражения b – а.

1.2. О четырехугольнике известно, что две его стороны параллельны и что точка пересечения диагоналей является серединой одной из диагоналей. Верно ли, что этот четырехугольник – параллелограмм?

1.3. При умножении натурального числа N на 3 получилось число, сумма цифр которого равна N. Найдите наименьшее возможное значение N.

 

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. Известно, что а + b + c + d = 6. Может ли сумма ab + ac + ad + bc + bd + cd равняться 18?

2.2. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен одной из медиан. Какой угол образует эта медиана со вторым катетом?

2.3. Урфин Джюс выстроил 66 дуболомов в шеренгу, пересчитал их и понял, что перестроить их в колонну по пять ему не удастся. Тогда, он решил между любыми двумя дуболомами, стоящими в шеренге, поставить еще по одному дуболому. Сможет ли он, повторив эту операцию несколько раз, добиться того, чтобы количество дуболомов стало кратным пяти?

 

Третий тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

3.1. У Пети были монеты достоинством в 1 рубль и 1 копейку, причем копеек было меньше, чем на рубль. Покупая продукты, Петя потратил половину всей суммы. После этого у него снова оказались только рубли и копейки, причем копеек оказалось столько, сколько вначале было рублей, а рублей оказалось вдвое меньше, чем вначале было копеек. Сколько денег было у Пети первоначально?

3.2. В четырехугольнике АВСD углы А и В – прямые. Известно также, что СD = AD + BC. Биссектриса угла ADC пересекает АВ в точке M. Найдите угол CMD.

3.3. Назовем натуральное число замечательным, если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Чему равна сумма всех трехзначных замечательных чисел?

 

Четвертый тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

4.1. Решите уравнение: (1+x+...+x7)(1+x+...+x5)=(1+x+...+x6)2.

4.2. На стороне ВС квадрата АВСD во внешнюю сторону построен равнобедренный треугольник ВЕС с основанием ВС. Известно, что угол ЕАD равен 75°. Найдите угол ВЕС.

4.3. На поле е1 шахматной доски стоит шашка. Сколько существует различных маршрутов, по которым она сможет пройти в дамки? (Напомним, что шашка может ходить вперед по диагонали на соседнюю клетку и превращается в дамку, если достигает восьмой горизонтали.)

I тур

II тур

III тур

IV тур

Всего

Диплом

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1543Г

6

4

6

0

7

7

8

8

0

0

4

9

59

I

1543Д

6

6

6

7

7

7

0

1

8

9

1

0

58

I

17А

6

6

6

0

3

7

8

0

3

9

0

9

57

I

2007Б

6

6

6

0

3

7

7

1

3

9

0

9

57

I

К Л М Ш

6

6

6

7

3

7

8

0

6

4

0

0

53

II

1514Б

6

6

6

5

6

1

8

0

0

9

0

5

52

II

ИнтеллектуалВ

6

0

6

7

1

7

8

1

7

9

0

0

52

II

192Б

6

6

6

0

7

7

8

8

0

0

1

0

49

II

Троицк А

6

0

6

0

3

7

0

1

6

9

1

9

48

II

366Б С-Пб

6

6

6

0

6

8

1

0

9

0

0

42

III

345А

6

6

6

0

3

5

0

1

3

9

0

0

39

III

1514В

6

6

2

0

7

7

0

0

3

8

0

0

39

III

ИнтеллектуалА

6

6

6

0

0

7

0

0

4

0

0

9

38

III

218Б

6

6

6

0

3

7

0

1

7

0

1

0

37

III

17В

1

6

6

0

5

7

0

1

0

0

1

9

36

III

Черноголовка

5

5

0

0

3

7

0

0

6

9

0

0

35

III

Квантик

0

6

6

0

0

7

0

0

7

9

0

0

35

III

6

6

1

0

3

7

0

2

0

9

0

0

34

III

1543А

1

6

6

0

4

7

1

0

0

0

0

9

34

III

1514А

6

6

1

0

7

7

0

0

4

0

0

0

31

1543Б

6

6

6

0

3

0

8

1

0

0

0

0

30

2A

6

6

1

0

3

0

0

1

3

9

0

0

29

Долгоп5Б

0

6

6

0

3

7

0

1

6

0

0

0

29

1537Б

6

6

1

0

7

0

0

0

0

9

0

0

29

Долгоп5А

6

0

5

0

0

7

8

0

1

1

0

0

28

11 Химки

6

0

1

7

3

7

0

0

4

0

0

0

28

1018А

6

6

1

0

3

7

0

1

3

0

0

0

27

6

6

1

0

3

7

0

0

0

1

0

2

26

218А

6

6

6

0

2

3

0

3

0

0

0

0

26

1189А

6

6

2

0

3

1

0

1

4

0

0

3

26

1537А

6

6

6

0

7

0

0

0

0

0

1

0

26

2005Б

6

6

6

0

0

0

8

0

0

0

0

0

26

2007В

6

6

0

0

3

7

1

1

0

0

0

0

24

2007E

6

6

6

0

1

4

0

0

0

0

1

0

24

ДзержинскийА

6

1

6

0

0

7

0

1

0

0

0

3

24

ИнтеллектуалБ

1

5

1

0

3

1

0

1

3

9

0

0

24

1514Г

6

6

2

0

1

7

0

1

0

0

0

0

23

366А С-Пб

0

6

1

0

0

6

0

0

0

9

0

0

22

1543В

1

3

1

0

2

7

8

0

0

0

0

0

22

6

0

6

0

3

0

0

0

0

1

0

5

21

17Б

6

5

6

0

3

0

0

0

0

0

0

1

21

1189В

0

6

6

0

0

3

0

6

0

0

0

0

21

1576А

1

6

5

0

7

0

1

0

0

0

0

20

2007Г

6

6

0

0

7

0

0

1

0

0

0

0

20

2007Д

0

6

6

0

0

1

6

0

1

0

20

ИнтеграцияXXI

6

4

1

0

0

0

0

0

0

9

0

0

20

М Э Ш Б

6

6

6

0

0

0

0

1

0

0

1

0

20

345Б

0

6

6

0

0

7

0

0

0

0

0

0

19

ИнтеллектуалГ

6

0

6

0

0

7

0

0

0

0

0

0

19

Фрязино лицей

6

6

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

19

0

6

1

0

3

7

0

1

0

0

0

0

18

7

0

6

1

0

3

7

0

1

0

0

0

0

18

1189Д

0

0

6

0

3

7

0

1

0

1

0

0

18

1554Б

6

0

1

0

0

7

0

1

0

0

0

3

18

1268А

6

6

1

0

0

0

0

1

0

0

0

3

17

Ногинск

6

6

1

0

3

0

0

1

0

0

0

0

17

91

6

6

1

0

3

0

0

0

0

0

0

0

16

152

0

0

6

0

3

7

0

0

0

0

0

0

16

1576Б

0

0

4

0

0

7

0

0

4

0

0

0

15

2005А

6

1

6

0

0

0

0

1

0

1

0

0

15

4Б Фрязино

1

0

6

0

0

0

0

6

0

0

1

0

14

1189Б

0

0

1

0

2

7

3

1

0

0

0

0

14

2007А

6

6

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

14

936Б

6

6

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

13

1018Б

0

0

6

0

0

7

0

0

0

0

0

13

192А

0

0

4

0

0

7

0

0

0

0

0

1

12

1189Г

6

0

2

0

3

0

0

1

0

0

0

0

12

ДзержинскийБ

0

0

6

0

0

4

0

1

0

0

0

0

11

Ювенес

0

0

1

0

3

0

0

1

6

0

0

0

11

223

0

0

1

0

0

7

0

1

0

0

0

0

9

936А

6

0

1

0

2

0

0

0

0

0

0

0

9

1554А

0

0

1

0

0

7

0

1

0

0

0

0

9

0

0

0

-1

7

0

1

0

0

1

0

8

1553

6

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

8

Троицк Б

0

6

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

7

М Э Ш А

0

5

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

6

26

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

3

1268Б

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

2

ДзержинскийВ

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

2

1981

0

-1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

Rambler's
Top100 Rambler's Top100