Математическая регата 9 классов 9.10.2005

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Найдите x³ + y³, если известно, что x + y = 5 и x + y + x²y + xy² = 24.

1.2. Медиана треугольника в полтора раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите угол между двумя другими медианами.

1.3. Можно ли, используя в десятичной записи чисел только цифры 2, 3 и 7, записать три натуральных числа, одно из которых равно произведению двух других?

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. Известно, что число p является одним из корней квадратного уравнения 5x² + bx + 10 = 0. Выразите через p корни уравнения 10x² + bx + 5 = 0.

2.2. Точку, расположенную внутри треугольника, соединили отрезками с серединами его сторон. Образовались три выпуклых четырехугольника, в два из которых можно вписать окружность. Докажите, что и в третий четырехугольник также можно вписать окружность.

2.3. В детский сад завезли карточки для обучения чтению: на некоторых из них написан слог МА, на остальных – слог НЯ. Каждый ребенок взял по три карточки и стал составлять слова. Оказалось, что из своих карточек 20 детей могут сложить слово МАМА, 30 детей – слово НЯНЯ, а 40 детей – слово МАНЯ. У скольких детей все три карточки одинаковые?

Третий тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

3.1. Известно, что a² + bc = a(b + c); b² + ac = b(c + а); c² + ab = c(a + b). Докажите, что а = b = c.

3.2. Какое наименьшее нечетное количество сторон может иметь многоугольник, который можно разрезать на параллелограммы?

3.3. Допустим, что сейчас угол между минутной и часовой стрелкой такой же, как полчаса назад. Найдите все возможные значения этого угла.

Четвертый тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

4.1. Изобразите множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению: .

4.2. В трапеции АВСD точка М лежит на боковой стороне CD так, что Ð АВМ = Ð СВD = Ð ВCD = a . Найдите длину ВМ, если АВ = b.

4.3. На какую наибольшую степень числа 3 может делиться сумма вида 1! + 2! + 3! + ... + n!?

Пятый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

5.1. Существуют ли три квадратных трехчлена такие, что сумма любых двух из них, увеличенная на 1, также является квадратным трехчленом и имеет те же корни, что и третий трехчлен?

5.2. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что АВ – не диаметр. Две другие окружности лежат внутри данной, касаются ее в точках А и В и касаются друг друга в точке М. Найдите геометрическое место точек М.

5.3. Возможна ли такая компания, в которой у каждого ровно 10 друзей, а у любых двух – ровно 4 общих друга?