Математическая регата 10 классов 21.04.2007

Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (html-файл)

10 класс.

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Решите неравенство: (x – 1)(x2 – 1)(x3 – 1)× ...× (x2007 – 1) £ 0.

1.2. Верно ли, что угол между прямой а и плоскостью a равен углу между прямой b и плоскостью b , если a^ b и a ^ b ?

1.3. На гранях кубика произвольным образом записали натуральные числа от 1 до 6. Затем на каждом ребре кубика записали сумму чисел, стоящих в гранях, содержащих это ребро. Оказалось, что на трех ребрах записано одинаковое число. Какое?

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. Вася записал на доске величины двух углов a и b . Сможет ли Петя поставить перед каждым из них либо знак sin2, либо знак cos2 так, чтобы значение суммы этих квадратов было не меньше, чем 1?

2.2. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника площади S проведены перпендикуляры к двум другим сторонам. Найдите площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами.

2.3. Найдите все тройки различных натуральных чисел, в которых сумма любых двух чисел делится на третье, и при этом каждые два числа являются взаимно простыми.

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

3.1. На координатной плоскости XOY построены графики всех функций вида y = 2ax – a2, где а – произвольное действительное число. Что представляет собой множество точек плоскости, не принадлежащих ни одному из построенных графиков?

3.2. Найдите геометрическое место середин отрезков данной длины, концы которых лежат на двух данных скрещивающихся перпендикулярных прямых.

3.3. В десятичной записи натурального числа N, являющегося степенью двойки, зачеркнули первую цифру и получили число, которое также является степенью двойки. Сколько существует таких натуральных N?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. Существуют ли рациональные числа x, y, u и v, для которых выполняется равенство:

?

4.2. Дан равнобедренный треугольник АВС с углом b при вершине В. В этой вершине расположен прожектор, который может освещать некоторый отрезок MN на основании АС (точка M лежит между А и N, точка N лежит между М и С). Известно, что при любом повороте прожектора из отрезков АМ, MN и NC можно составить треугольник. Каким может быть угол освещения MBN?

4.3. Вася и Петя заполняли клетчатый прямоугольник, в котором m строк и n столбцов (m > 1, n > 1) последовательными натуральными числами от 1 до mn. Сначала это сделал Вася, двигаясь сверху вниз по строкам и заполняя каждую строчку слева направо. Потом это сделал Петя, который двигался слева направо по столбцам, заполняя каждый столбец сверху вниз. Сколько оказалось клеток, в которых записаны два одинаковых числа?

Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

5.1. Решите уравнение: .

5.2. Треугольник АВС вписан в окружность. Точка X – середина дуги АВ, не содержащей вершину С, а точка Y – середина дуги ВС, не содержащей вершину А. Прямая XY пересекает стороны треугольника в точках K и L. Точка I – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Докажите, что BKILромб.

5.3. Два пловца, стартовав из разных точек с одного берега озера, стремятся доплыть до буйка, двигаясь прямолинейно по направлению к нему с постоянными скоростями. В 10 часов 35 минут расстояние между пловцами было 300 метров, в 10 ч 36 мин оно сократилось до 200 метров, а в 10 ч 37 мин стало равным 100 метров. Верно ли, что пловцы приплывут к буйку одновременно?

Команда

I

II

III

IV

V

Сумма

Диплом

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

 

 

1 5 4 3 Б

6

6

4

7

7

7

8

8

8

1

3

1

7

7

7

87

I

СУНЦ МГУ Б

6

6

4

7

7

7

8

0

8

0

3

4

7

3

7

77

I

5 7

6

6

6

7

0

6

8

1

7

9

0

1

0

3

7

67

II

СУНЦ МГУ А

6

0

4

7

7

7

4

1

8

0

4

8

0

3

1

60

II

1 1 3 4

6

6

4

7

7

1

0

1

2

0

9

0

6

7

1

57

II

2 А

5

0

6

6

7

0

8

8

2

0

5

1

0

7

1

56

II

1 5 4 3 А

6

6

4

7

7

3

8

6

2

1

 

0

6

0

0

56

II

1 5 4 3 В

0

6

6

7

7

7

0

8

2

0

4

0

0

7

1

55

II

1514 В

0

6

6

7

7

0

8

1

2

0

0

0

7

3

0

47

III

Большая перемена

6

0

4

7

7

1

0

7

4

1

3

1

1

3

0

45

III

2 Б

0

6

4

7

7

0

0

8

2

0

1

0

0

0

7

42

III

Интеллектуал Б

6

6

2

7

0

1

8

0

2

0

3

1

0

0

6

42

III

1537 А

6

6

4

0

 

0

8

8

2

6

0

1

0

0

0

41

III

2 В

0

3

3

7

1

1

8

0

2

0

5

1

7

0

1

39

III

6 5 4 Б

6

0

3

6

 

0

0

0

2

1

4

2

7

0

7

38

III

Квантик

6

0

6

1

0

0

8

1

4

0

6

4

0

0

0

36

ПП

1514 А

-1

6

2

7

1

1

8

1

2

0

0

1

0

0

7

35

ПП

1514 Б

6

0

0

7

1

1

7

1

2

0

0

1

0

7

0

33

ПП

1 5 8 1 А

2

6

2

7

0

1

8

4

2

0

0

0

0

0

1

33

ПП

СУНЦ МГУ В

0

0

6

7

7

1

6

0

2

0

3

1

0

0

0

33

ПП

1189 А

6

6

6

0

0

0

8

1

3

0

1

1

0

0

0

32

ПП

1511 А

6

4

4

5

1

1

0

1

2

1

0

1

0

6

0

32

ПП

3 1 5

6

6

2

2

0

1

0

3

3

1

0

1

0

2

4

31

 

1189 В

0

0

2

7

7

1

0

0

2

0

2

0

7

0

0

28

 

Интеллектуал А

0

0

4

7

7

0

7

0

2

0

0

1

0

0

0

28

 

9 1 А

0

6

2

0

1

0

0

6

2

0

0

1

0

0

7

25

 

3 4 5 Б

6

4

3

0

0

1

0

1

2

0

0

1

1

0

4

23

 

1 1 0 1

6

0

2

0

1

1

1

1

2

0

0

1

7

0

0

22

 

2 0 0 7 Б

6

0

0

0

 

0

8

2

3

0

3

0

0

0

0

22

 

2 1 8

0

6

6

0

1

1

0

0

2

0

3

2

0

0

0

21

 

1 7 4

4

0

6

7

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

19

 

1 5 6 8 Б

 

 

 

7

0

1

0

1

2

0

0

0

5

3

0

19

 

9 1 Б

0

0

4

2

0

1

0

0

2

0

0

2

0

0

7

18

 

1 0 9 А

4

0

1

0

0

0

0

1

2

1

0

1

7

0

1

18

 

1 5 2

6

0

4

7

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

18

 

3 4 5 А

0

6

4

0

0

1

0

0

2

0

5

0

0

0

0

18

 

7

4

0

4

0

0

0

0

1

2

0

2

1

0

0

1

15

 

2 0 0 7 А

4

0

0

7

0

1

0

0

2

0

0

1

0

0

0

15

 

1537 Б

6

0

1

0

 

1

0

1

2

1

0

2

0

0

0

14

 

8 7 0

6

0

2

0

1

1

0

0

2

1

0

0

0

0

0

13

 

1511 Б

0

6

4

0

0

1

0

0

2

0

0

0

0

0

0

13

 

1 5 6 8 В

 

 

 

7

0

0

0

2

2

0

0

1

0

0

1

13

 

2 Г

-1

0

3

0

0

1

0

7

1

0

0

1

0

 

0

12

 

Троицк

0

0

4

0

0

0

0

0

2

1

3

0

0

1

0

11

 

6 5 4 А

0

0

4

1

0

0

0

0

2

0

1

0

0

0

0

8

 

1189 Б

-1

0

4

0

1

0

0

0

2

1

0

1

0

0

0

8

 

1 5 6 8 А

 

 

 

5

0

0

0

1

2

0

0

0

0

0

0

8

 

1 5 7 6

0

0

4

0

0

1

0

0

2

0

0

1

0

0

0

8

 

2 0 0 7 В

0

0

2

0

0

1

0

1

2

0

0

1

0

0

0

7

 

1 5 8 1 Б

0

0

4

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

6

 

2007 Г

0

0

2

0

0

1

0

1

2

0

0

0

0

0

0

6

 

1 0 9 Б

0

0

0

0

0

1

0

0

2

1

0

1

0

0

0

5

 

7 0 6 Б

0

0

2

0

0

1

0

0

2

0

0

0

0

0

0

5

 

4 2 0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

 

Rambler's
Top100 Rambler's Top100