Математическая регата 9 классов 13.10.2007

1.1. Про коэффициенты линейной функции у = kх + b известно, что k + b > 0, а 2k + b < 0. Может ли график этой функции пересекать ось абсцисс в точке х = 3?

1.2. Каждая сторона треугольника имеет с окружностью ровно одну общую точку, отличную от вершины. Обязательно ли эта окружность – вписанная?

1.3. Можно ли на некоторые клетки доски 6´ 6 положить по камешку так, чтобы количество камешков в каждой горизонтали было четно, а количество камешков в каждой вертикали – нечетно?

2.1. Сократите дробь , если известно, что .

2.2. В прямоугольном треугольнике отношение радиусов вписанной и описанной окружностей равно 2 : 5. Найдите отношение катетов.

2.3. В клетки таблицы 3x3 расставлены все цифры от 1 до 9 и подсчитана сумма чисел в каждой строке. Какое наибольшее количество таких сумм могло быть точными квадратами?

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

3.1. Представьте многочлен 3x⁴ + 1 в виде суммы квадратов трех многочленов ненулевой степени с целыми коэффициентами.

3.2. Дан треугольник АВС. На лучах АВ и АС (вне треугольника) построены точки А₁ и А₂ соответственно так, что ВА₁ = СА₂ = ВС. А₀ – точка пересечения отрезков ВА₂ и СА₁. Докажите, что прямая, проходящая через А₀ перпендикулярно прямой ВС, содержит центр вневписанной окружности треугольника АВС. (Напомним, что вневписанной называется окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон.)

3.3. Можно ли числа 1, 2, ..., 20 расставить в вершинах и серединах ребер куба так, чтобы каждое число, стоящее в середине ребра, равнялось среднему арифметическому чисел, стоящих на концах этого ребра?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. Найдите все положительные решения уравнения x(x + 1)² + y(y + 1)² = 8xy.

4.2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА₁, BB₁ и CC₁. Через вершины А, В и С проходят прямые, перпендикулярные отрезкам B₁C₁, C₁А₁ и А₁B₁ соответственно. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.

4.3. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться произведение трех натуральных чисел, сумма которых равна 407?

Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

5.1. Известно, что {x}× [x] = 100. Найдите [x²] – [x]².

Напомним, что [x] (целая часть x) – наибольшее целое число, не превосходящее x; {x}× (дробная часть x) – разность между числом x и его целой частью.

5.2. Каждый угол шестиугольника АВСDEF равен 120° . Найдите DE и AF, если АВ = 3, ВС = 4, CD = 5 и EF = 1.

5.3. Среди первых 99 натуральных чисел выбрано 50 чисел. Известно, что никакие два из них не дают в сумме ни 99, ни 100. Найдите сумму выбранных чисел.

Результаты регаты: