Математическая регата 10 классов 7.03.2009

Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (html-файл)

11 класс.

Первый тур (10 минут; каждая задача — 6 баллов).

1.1. Найдите значение выражения , если x2 + y2 = 6xy и x ¹ y.

1.2. При показе итогов регаты изображение вылезло за пределы квадратного экрана на 20 см (с каждой стороны). На какое наименьшее расстояние (выраженное целым количеством сантиметров) надо приблизить экран к проектору, чтобы изображение поместилось на экран полностью, если «угол зрения» проектора равен 60° ?

1.3. Кузнечик прыгает по координатной прямой. Сначала он прыгает из точки с координатой 0 в точку с координатой 1, а длина каждого следующего прыжка вдвое больше предыдущего. Сможет ли он вернуться в исходную точку, двигаясь подобным образом? (Направление каждого прыжка: влево или вправо – не зависит от направления предыдущего прыжка.)

Второй тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов).

2.1. Решите систему уравнений: .

2.2. Найдите наибольший периметр параллелограмма, диагонали которого 6 см и 8 см.

2.3. В футбольном турнире участвовало 5 команд. Каждая команда сыграла с каждой по одному разу (выигрыш – 3 очка, ничья – 1 очко, проигрыш – 0). Все участники, кроме победителя, набрали очков поровну. Каков наименьший возможный отрыв команды-победителя?

Третий тур (20 минут; каждая задача — 8 баллов).

3.1. Изобразите такой график функции, определенной на отрезке [–4; 4], что при повороте на 90° с центром в начале координат он переходит в себя.

3.2. Биссектрисы углов треугольника АВС пересекают стороны ВС, СА и АВ в точках P, Q и R соответственно. Р1 – точка пересечения прямой, проходящей через точку Р параллельно АВ, со стороной СА. Аналогично определяются точки Q1 и R1. Найдите сумму , если длины сторон исходного треугольника равны а, b и с.

3.3. Найдите все натуральные числа, которые можно представить в виде , где m и n – также натуральные числа.

Четвертый тур (25 минут; каждая задача — 9 баллов).

4.1. Пусть an – целое число, ближайшее к . Найдите все такие натуральные n, что .

4.2. На гипотенузе АВ равнобедренного прямоугольного треугольника АВС отмечены точки М и N так, что угол МСN равен 45° (точка M лежит между А и N). Докажите, что АМ2 + BN2 = MN2.

4.3. Дано 51 различное натуральное число, меньшее 100. Докажите, что из них можно выбрать шесть таких чисел, что никакие два из выбранных не имеют одинаковых цифр ни в одном разряде.

Пятый тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов).

5.1. Числа а, b, x и y удовлетворяют равенствам: (a + b)(x + y) = 1 и (a2 + b2)(x2 + y2) = 1. Докажите, что ax + by ³ 0.

5.2. На столе стоит правильная треугольная пирамида РАВС (сделанная из стекла), все ребра которой равны 1 (см. рис.). Муравей ползет из точки М, лежащей на луче АВ на расстоянии 2 от точки В, в точку N – середину ребра РС. Найдите длину его кратчайшего пути.

5.3. Найдите все целые решения уравнения k(k + 1) = n3.



Результаты регаты:

Команда

I тур

II тур

III тур

IV тур

V тур

Сумма

Диплом

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

СУНЦ Б

2

6

6

2

7

0

8

8

8

9

9

1

7

7

6

86

I

5 7

6

0

6

7

7

0

8

8

0

5

9

9

7

7

5

84

I

1 5 1 4 А

6

6

6

7

7

7

0

8

7

9

9

0

0

0

6

78

II

Интеллектуал Б

6

0

6

7

7

1

8

8

0

8

9

1

0

7

7

75

II

СУНЦ В

6

0

6

7

7

7

8

8

0

5

9

0

0

5

7

75

II

2 А

6

6

6

7

7

7

8

8

0

0

0

1

4

0

7

67

III

2 Е

6

3

6

7

7

0

8

0

0

7

9

0

0

7

7

67

III

Кострома А

6

6

6

7

0

6

2

8

8

9

0

1

0

0

7

66

III

5Б Долгопрудный

0

0

6

7

7

1

0

8

0

0

9

9

0

7

7

61

III

2 Б

6

6

6

7

3

0

0

8

8

0

0

0

0

7

7

58

III

2 Г

6

0

6

7

7

1

-1

0

8

7

9

0

0

0

7

57

III

2 1 8

3

6

7

6

0

8

8

0

0

9

0

0

0

7

54

III

СУНЦ А

6

6

5

5

2

8

8

3

0

1

0

0

7

51

III

2 Д

6

0

6

7

1

0

0

8

7

0

0

9

0

0

2

46

ПП

2 В

6

4

6

7

0

0

4

8

0

0

0

0

0

0

7

42

ПП

1 5 5 4

6

3

6

0

0

0

2

1

4

0

9

0

0

7

3

41

ПП

1 5 1 4 Б

6

0

6

2

2

1

0

8

8

0

0

0

0

7

40

ПП

5 4 А

4

0

6

2

0

3

8

8

0

0

0

0

0

0

7

38

3 1 5 Б

6

0

6

7

0

0

0

3

0

9

0

7

0

38

1 5 4 3 Г

6

0

6

2

7

0

0

8

0

8

0

0

0

0

1

38

Интеллектуал А

6

0

6

2

7

0

1

8

1

4

0

1

0

0

1

37

1 7 9 А

6

3

6

0

0

0

4

0

8

0

0

1

7

0

0

35

1 5 4 3 В

2

4

6

7

1

0

0

3

8

0

0

1

0

0

1

33

Переславль

2

0

6

2

3

0

2

0

8

0

9

1

0

0

0

33

1 5 6 7

2

3

6

7

7

1

0

0

4

0

0

1

0

0

1

32

1 5 4 3 Б

2

0

6

7

7

0

0

8

0

0

0

1

0

0

0

31

1 7 9 Б

6

3

6

2

2

0

0

8

0

3

0

0

0

0

0

30

5А Долгопрудный

2

0

6

2

1

7

0

0

1

0

0

0

0

0

7

26

5 4 В

2

6

0

7

0

0

0

0

3

0

1

0

0

7

26

6 5 4

6

3

6

0

2

7

1

0

0

0

0

0

0

0

1

26

1 5 4 3 А

2

4

6

0

7

0

0

0

0

3

0

1

0

0

1

24

2 0 0 7 Ж

0

0

6

2

7

0

0

0

0

0

9

0

0

0

24

2 0 0 7 В

6

0

6

2

2

0

0

1

0

3

0

0

0

0

3

23

1 1 8 9 А

1

7

0

2

0

0

3

0

0

7

0

1

21

2 0 0 7 А

6

0

0

3

1

0

8

0

3

0

0

0

0

0

21

2 0 0 7 Б

6

0

6

0

0

0

0

0

0

0

8

1

0

0

0

21

5В Долгопрудный

2

0

6

2

2

0

0

8

0

0

0

0

0

0

1

21

1 5 3 7 Б

6

0

6

7

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

20

1 5 5 7 А

2

6

0

2

0

0

0

0

0

9

0

0

0

0

19

2_1237

0

3

6

0

4

0

0

0

0

2

0

0

0

0

2

17

1 5 1 1 А

2

2

6

2

2

0

2

0

0

0

0

0

0

0

1

17

2 0 0 7 Г

2

0

6

0

0

7

0

0

0

0

0

0

1

0

1

17

2 0 0 7 Д

6

0

0

7

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

15

Селятино

6

0

6

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

14

1 5 1 1 Б

0

4

6

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

13

1 7 9 В

1

0

6

2

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

12

1 5 3 7 А

2

0

0

2

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

11

7 Б

0

0

6

2

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

10

1 1 8 9 Б

0

0

7

0

0

0

0

0

1

0

0

0

8

3 1 5 А

0

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

7

7 А

0

0

2

2

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6

1 5 1 1 В

0

0

0

2

0

0

0

0

1

0

0

2

0

0

0

5

1 5 6 4 А

2

0

1

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5

Королев

0

0

1

1

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4

1 3 0 2

2

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

3

1 5 6 4 Б

0

0

2

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

2 0 0 7 Е

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

1918

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Rambler's
Top100 Rambler's Top100