Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (html-файл)
Первый тур (10 минут; каждая задача — 6 баллов).
1.1. Пусть 0 < x <
и 0 < y <
.
Докажите, что xcosx + ycosy <=
ycosx + xcosy.
1.2. Из отрезков с длинами 1, 1, 1, ,
,
составили тетраэдр.
Какое наибольшее количество граней может оказаться прямоугольными треугольниками?
1.3. Пусть А – произведение всех простых чисел, не превосходящих 2008, B – произведение всех нечетных чисел, не превосходящих 2008. Найдите предпоследнюю цифру в десятичной записи числа АB.
Второй тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов).
2.1. Существует ли многочлен Р(x) ненулевой степени
с целыми коэффициентами такой, что = 2008?
2.2. Точка Е лежит на диагонали АС трапеции АВСD. Найдите отношение ее оснований ВС и AD, если площадь треугольника ADE в два раза больше площади треугольника АВЕ.
2.3. Можно ли расставить в вершинах правильного 45-угольника цифры 0, 1, ¼, 9 так, чтобы для любой пары различных цифр нашлась сторона, концы которой занумерованы этими цифрами?
Третий тур (20 минут; каждая задача — 8 баллов).
3.1. Известно, что а <= b <= c <= d <= 0 и a + b + c + d = 1. Найдите наименьшее значение выражения 7a2 + 5b2 + 3c2 + d2.
3.2. Внутри квадрата АВСD выбрана точка K такая, что угол KBC равен углу KDB = a. Найдите угол KAD.
3.3. Докажите, что среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно найдется число, у которого сумма цифр делится на 11.
Четвертый тур (25 минут; каждая задача — 9 баллов).
4.1. При каких b найдутся такие a, что система
уравнений имеет хотя бы одно решение?
4.2. В треугольнике ABC: I –
центр вписанной окружности, D – середина AB. Найдите
, если известно, что угол AID – прямой.
4.3. Имеется набор из двадцати гирь, массы которых выражаются целым числом граммов. Известно, что если из набора удалить любое количество гирь (в том числе и ноль), то оставшиеся гири нельзя будет разложить на две чашки весов так, чтобы они уравновесились. Докажите, что общая масса набора превосходит одну тонну.
Пятый тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов).
5.1. Имеет ли уравнение =
целые корни?
5.2. В правильной пирамиде РАВСD расстояние от вершины Р до основания АВСD равно половине ребра АВ. Какая из вершин, В или С, находится ближе к прямой РА?
5.3. На плоскости нарисованы красные и синие квадраты, причем множество точек, являющихся вершинами синих квадратов, совпадает со множеством точек, являющихся вершинами красных. Верно ли, что какие-то два квадрата обязательно совпадают?
Результаты регаты:
Команда |
I тур |
II тур |
III тур |
IV тур |
V тур |
Сумма |
Диплом |
||||||||||
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|||
СУНЦ А |
7 |
7 |
7 |
8 |
8 |
6 |
9 |
9 |
9 |
7 |
7 |
7 |
91 |
I |
|||
1 5 4 3 А |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
7 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0 |
7 |
7 |
77 |
II |
СУНЦ Б |
7 |
7 |
7 |
8 |
8 |
0 |
9 |
0 |
9 |
7 |
7 |
7 |
76 |
II |
|||
Переславль |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
0 |
8 |
0 |
0 |
3 |
7 |
0 |
7 |
72 |
II |
2 0 0 7 А |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
5 |
9 |
0 |
0 |
7 |
7 |
67 |
III |
СУНЦ Г |
7 |
4 |
7 |
8 |
8 |
8 |
0 |
0 |
9 |
0 |
7 |
7 |
65 |
III |
|||
1 9 2 |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
0 |
4 |
0 |
3 |
0 |
0 |
4 |
7 |
7 |
7 |
64 |
III |
Квантик А |
6 |
6 |
6 |
0 |
7 |
7 |
8 |
0 |
7 |
0 |
0 |
3 |
0 |
7 |
7 |
64 |
III |
2 Г |
6 |
6 |
1 |
7 |
7 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
7 |
7 |
59 |
ПП |
1 7 9 В |
6 |
6 |
2 |
7 |
7 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0 |
7 |
7 |
59 |
ПП |
1 1 8 9 Б |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
7 |
7 |
57 |
ПП |
2 0 0 7 Д |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
7 |
7 |
0 |
55 |
ПП |
2 0 0 7 Г |
6 |
0 |
6 |
7 |
1 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
7 |
7 |
52 |
ПП |
1 7 9 Г |
5 |
5 |
6 |
7 |
5 |
7 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
3 |
0 |
6 |
7 |
51 |
ПП |
3 1 5 Б |
5 |
6 |
0 |
0 |
7 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
7 |
7 |
50 |
ПП |
5 7_1 7 9 |
6 |
6 |
0 |
7 |
7 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
48 |
ПП |
3 1 5 А |
6 |
6 |
0 |
7 |
6 |
0 |
0 |
0 |
6 |
0 |
3 |
7 |
7 |
0 |
48 |
ПП |
|
1 1 8 9 В |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
0 |
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
48 |
ПП |
1 1 8 9 А |
6 |
6 |
0 |
7 |
7 |
0 |
8 |
0 |
0 |
4 |
0 |
1 |
0 |
7 |
0 |
46 |
ПП |
1 5 4 3 Б |
6 |
6 |
6 |
7 |
6 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
46 |
ПП |
2 Б |
6 |
6 |
0 |
7 |
7 |
6 |
0 |
0 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
45 |
ПП |
СУНЦ Д |
7 |
7 |
0 |
8 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
7 |
44 |
ПП |
|||
9 1 А |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
7 |
43 |
|
1 5 1 1 |
6 |
0 |
6 |
7 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
7 |
43 |
|
Интеграция |
6 |
0 |
0 |
7 |
7 |
7 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
7 |
38 |
|
5 4 В |
6 |
0 |
0 |
7 |
7 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
7 |
36 |
|
1 4 3 4 А |
0 |
7 |
7 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
7 |
36 |
||||
2 0 0 7 Б |
6 |
0 |
6 |
7 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
33 |
|
Троицк |
6 |
6 |
2 |
7 |
7 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
31 |
|
1 1 8 9 Д |
7 |
0 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
7 |
31 |
|||||
СУНЦ В |
0 |
7 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
7 |
30 |
||||
7 Б |
0 |
6 |
0 |
7 |
6 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
28 |
|
1 5 8 0 |
6 |
6 |
3 |
0 |
7 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
26 |
|
5 4 А |
5 |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
25 |
|
2 0 0 7 В |
6 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
7 |
23 |
||
9 7 8 |
5 |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
19 |
|
1 1 8 9 Г |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
7 |
0 |
7 |
18 |
|
Квантик Б |
0 |
0 |
6 |
0 |
1 |
7 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
17 |
|
Королев |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
10 |
|
2 0 0 7 Е |
1 |
0 |
1 |
7 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
|
7 А |
1 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
|
1 5 6 4 А |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
|
1 7 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
||
1 5 6 4 Б |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |