Математическая регата 11 классов 6.12.2008

Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (html-файл)

11 класс.

Первый тур (10 минут; каждая задача — 6 баллов).

1.1. Пусть 0 < x < и 0 < y < . Докажите, что xcosx + ycosy <= ycosx + xcosy.

1.2. Из отрезков с длинами 1, 1, 1, , , составили тетраэдр. Какое наибольшее количество граней может оказаться прямоугольными треугольниками?

1.3. Пусть А – произведение всех простых чисел, не превосходящих 2008, B – произведение всех нечетных чисел, не превосходящих 2008. Найдите предпоследнюю цифру в десятичной записи числа АB.

Второй тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов).

2.1. Существует ли многочлен Р(x) ненулевой степени с целыми коэффициентами такой, что = 2008?

2.2. Точка Е лежит на диагонали АС трапеции АВСD. Найдите отношение ее оснований ВС и AD, если площадь треугольника ADE в два раза больше площади треугольника АВЕ.

2.3. Можно ли расставить в вершинах правильного 45-угольника цифры 0, 1, ¼, 9 так, чтобы для любой пары различных цифр нашлась сторона, концы которой занумерованы этими цифрами?

Третий тур (20 минут; каждая задача — 8 баллов).

3.1. Известно, что а <= b <= c <= d <= 0 и a + b + c + d = 1. Найдите наименьшее значение выражения 7a2 + 5b2 + 3c2 + d2.

3.2. Внутри квадрата АВСD выбрана точка K такая, что угол KBC равен углу KDB = a. Найдите угол KAD.

3.3. Докажите, что среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно найдется число, у которого сумма цифр делится на 11.

Четвертый тур (25 минут; каждая задача — 9 баллов).

4.1. При каких b найдутся такие a, что система уравнений имеет хотя бы одно решение?

4.2. В треугольнике ABC: I – центр вписанной окружности, D – середина AB. Найдите , если известно, что угол AID – прямой.

4.3. Имеется набор из двадцати гирь, массы которых выражаются целым числом граммов. Известно, что если из набора удалить любое количество гирь (в том числе и ноль), то оставшиеся гири нельзя будет разложить на две чашки весов так, чтобы они уравновесились. Докажите, что общая масса набора превосходит одну тонну.

Пятый тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов).

5.1. Имеет ли уравнение = целые корни?

5.2. В правильной пирамиде РАВСD расстояние от вершины Р до основания АВСD равно половине ребра АВ. Какая из вершин, В или С, находится ближе к прямой РА?

5.3. На плоскости нарисованы красные и синие квадраты, причем множество точек, являющихся вершинами синих квадратов, совпадает со множеством точек, являющихся вершинами красных. Верно ли, что какие-то два квадрата обязательно совпадают?

Результаты регаты:

Команда

I тур

II тур

III тур

IV тур

V тур

Сумма

Диплом

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

СУНЦ А

7

7

7

8

8

6

9

9

9

7

7

7

91

I

1 5 4 3 А

6

6

6

7

7

7

8

7

0

0

0

9

0

7

7

77

II

СУНЦ Б

7

7

7

8

8

0

9

0

9

7

7

7

76

II

Переславль

6

6

6

7

7

7

8

0

8

0

0

3

7

0

7

72

II

2 0 0 7 А

6

6

6

7

7

7

0

0

0

5

9

0

0

7

7

67

III

СУНЦ Г

7

4

7

8

8

8

0

0

9

0

7

7

65

III

1 9 2

6

6

6

7

7

0

4

0

3

0

0

4

7

7

7

64

III

Квантик А

6

6

6

0

7

7

8

0

7

0

0

3

0

7

7

64

III

2 Г

6

6

1

7

7

7

8

0

0

0

0

3

0

7

7

59

ПП

1 7 9 В

6

6

2

7

7

0

8

0

0

0

0

9

0

7

7

59

ПП

1 1 8 9 Б

6

6

6

7

7

0

8

0

0

0

0

3

0

7

7

57

ПП

2 0 0 7 Д

6

6

6

7

7

7

0

0

0

0

0

2

7

7

0

55

ПП

2 0 0 7 Г

6

0

6

7

1

7

8

0

0

0

0

3

0

7

7

52

ПП

1 7 9 Г

5

5

6

7

5

7

-1

0

0

1

0

3

0

6

7

51

ПП

3 1 5 Б

5

6

0

0

7

7

8

0

0

0

0

3

0

7

7

50

ПП

5 7_1 7 9

6

6

0

7

7

7

8

0

0

0

0

0

0

0

7

48

ПП

3 1 5 А

6

6

0

7

6

0

0

0

6

0

3

7

7

0

48

ПП

1 1 8 9 В

6

6

6

7

7

0

8

1

0

0

0

0

7

0

0

48

ПП

1 1 8 9 А

6

6

0

7

7

0

8

0

0

4

0

1

0

7

0

46

ПП

1 5 4 3 Б

6

6

6

7

6

0

8

0

0

0

0

0

0

7

0

46

ПП

2 Б

6

6

0

7

7

6

0

0

6

0

0

0

0

7

0

45

ПП

СУНЦ Д

7

7

0

8

0

8

0

0

0

7

0

7

44

ПП

9 1 А

6

6

6

7

7

2

0

0

0

0

0

2

0

0

7

43

1 5 1 1

6

0

6

7

7

7

0

0

0

0

0

3

0

0

7

43

Интеграция

6

0

0

7

7

7

1

0

0

0

0

3

0

0

7

38

5 4 В

6

0

0

7

7

0

8

0

0

0

1

0

0

0

7

36

1 4 3 4 А

0

7

7

0

8

0

0

0

0

7

0

7

36

2 0 0 7 Б

6

0

6

7

0

0

7

0

0

0

0

0

7

0

0

33

Троицк

6

6

2

7

7

0

1

0

0

0

0

2

0

0

0

31

1 1 8 9 Д

7

0

7

8

0

0

0

2

0

0

7

31

СУНЦ В

0

7

7

8

0

0

0

1

0

0

0

7

30

7 Б

0

6

0

7

6

1

1

0

0

0

0

0

7

0

0

28

1 5 8 0

6

6

3

0

7

0

1

0

0

0

0

3

0

0

0

26

5 4 А

5

6

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

25

2 0 0 7 В

6

6

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

3

7

23

9 7 8

5

6

0

0

7

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

19

1 1 8 9 Г

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

2

7

0

7

18

Квантик Б

0

0

6

0

1

7

1

0

0

0

0

2

0

0

0

17

Королев

6

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

3

0

0

0

10

2 0 0 7 Е

1

0

1

7

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

10

7 А

1

6

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

8

1 5 6 4 А

0

0

1

0

0

5

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6

1 7 1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1 5 6 4 Б

0

0

0

0

1

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Rambler's
Top100 Rambler's Top100