Matematicheskaja regata 7 klassov

Математическая регата 7 классов 18.04.2009

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Разложите на множители: 1 + 4a²b² – (a² + b²)².

1.2. Два угла треугольника равны 100° и 60°. Покажите, как его разрезать на два равнобедренных треугольника.

1.3. Из Москвы в Неаполь самолет вылетает в 9.20 по московскому времени, а прилетает в 11.30 по неаполитанскому. Из Неаполя в Москву самолет вылетает в 8.30 по неаполитанскому времени, а прилетает в 14.40 по московскому. Какова разница во времени между Москвой и Неаполем?

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. Балда договорился с попом отработать на него ровно год и расплатиться щелчками по лбу. Балда предложил, чтобы за каждый отработанный день ему добавлялся один щелчок, а за каждый прогул вычиталось 10 щелчков. Поп же настаивал на более хитром (по его мнению) варианте: за отработанный день начисляется 12 щелчков, а за пропущенный вычитается аж 121 щелчок. По окончании срока выяснилось, что в обоих случаях поп должен получить от Балды одно и то же количество щелчков. Сколько именно?

2.2. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС выбраны точки D и Е соответственно так, что BD = BE. Отрезки АЕ и CD пересекаются в точке F. Найдите угол AFC, если угол ЕАС равен 25° .

2.3. Может ли сумма квадратов двух простых чисел быть квадратом какого-нибудь целого числа?

Третий тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

3.1. Несколько учеников отвечали на уроке, и каждый получил не ниже тройки. Аня получила отметку, которая на 10 меньше, чем сумма отметок остальных; Боря получил отметку, которая на 8 меньше, чем сумма отметок остальных; Вера – отметку, которая на 6 меньше, чем сумма отметок остальных. Сколько человек отвечало на уроке и какие отметки они получили?

3.2. В остроугольном треугольнике ABC: Ð A = 30°; BB₁ и CC₁ – высоты; B₂и C₂ – середины сторон AC и AB соответственно. Под каким углом пресекаются прямые B₁С₂ и С₁B₂?

3.3. В школе прошел шахматный турнир, в котором участвовало 20 шахматистов (каждый сыграл с каждым один раз). После подведения итогов оказалось, что Толя с 9,5 очками занял 19-е место, ни с кем его не разделив. Единоличным же победителем оказался Витя. Определите, сколько очков набрал каждый участник. (В шахматах за победу присуждается одно очко, за поражение – 0 очков, за ничью – пол-очка.)

Четвертый тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

4.1. Сравните: 400⁵ – 399²(400³ + 2× 400² + 3× 400 + 4) и 2000.

4.2. В четырехугольнике ABCD: Ð САD + Ð ВСА = 180° и АВ = ВС + АD (см. рис.). Докажите, что Ð ВАС + Ð АСD = Ð СDА.

4.3. Коля выписал все трехзначные числа, в записи которых нет нулей. Для каждого такого числа Вася записал сумму двух его цифр: наименьшей и наибольшей. Найдите сумму xbctk, записанных Васей.

Команда	I			II			III			IV			Сумма	Диплом
Команда	1	2	3	1	2	3	1	2	3	1	2	3
8 5 3 Б	6	6	6	0	7	7	7	0	7	0	8	7	61	I
82 А Черноголовка	6	6	6	7	7	3	7	3	7	0	0	0	52	II
1 5 4 3 Г	6	6	6	3	7	3	7	7	0	0	1	6	52	II
1 5 1 4 А	6	6	6	7	7	3	0	0	6	0	8	0	49	II
1 5 4 3 В	0	6	6	6	7	0	0	7	7	0	8	0	47	II
1 7 9 А	0	6	6	3	7	0	5	5	0	8	0	1	41	III
2 0 0 7 Б	6	6	6	0	7	0	7	0	0	0	8	1	41	III
Интеллектуал Б	6	6	0	6	7	7	0	1	6	0	0	0	39	III
2 0 0 7 В	6	6	6	5	7	0	7	0	0	0	0	0	37	III
2 0 0 7 Г	6	6	6	3	7	0	7	1	0	0	0	0	36	III
5 А Долгопрудный	6	6	6	0	7	1	0	0	0	8	0	0	34	III
1 5 1 4 Б	6	6	6	0	7	0	0	0	3	0	6	0	34	III
1 5 4 3 Б	0	6	6	6	7	0	2	7	0	0	0	0	34	III
2 А	6	6	6	0	7	0	7	0	0	0	1	0	33	III
1 7 9 Г	6	6	6	0	7	1	0	3	0	0	0	0	29	ПП
1 5 7 1	6	6	6	4	7	0	0	0	0	0	0	0	29	ПП
315 Б	2	6	0	0	1	0	4	0	7	8	0	0	28	ПП
1 7 4 1 А	6	6	2	0	7	0	0	0	0	0	0	5	26	ПП
1 1 8 9 В	0	0	6	0	7	0	7	1	4	0	0	0	25
1 5 3 4 А	6	6	6	0	7	0	0	0	0	0	0	0	25
2 0 0 7 А	6	6	6	0	7	0	0	0	0	0	0	0	25
2 1 8 Б	6	6	6	0	6	0	0	0	0	0	0	0	24
Ц Д О	6	6	1	0	7	3	0	1	0	0	0	0	24
4 4 4 В	0	0	6	0	7	0	2	0	7	0	0	0	22
1 5 6 8 Б	6	6	1	0	7	0	0	1	0	0	0	1	22
Кострома Б	6	6	1	0	7	0	0	0	0	0	0	2	22
7 А	6	6	0	0	7	0	0	1	0	0	0	1	21
4 4 4 А	6	6	0	0	7	1	0	0	0	0	0	1	21
1 5 6 8 А	0	6	0	0	7	0	7	0	0	0	0	1	21
Огниково	0	6	0	7	1	0	0	0	5	0	0	2	21
2 Б		6	6	0	7	0	1	0	0	0	0	0	20
2 В	0	6	6	0	7	0	0	0	0	0	0	1	20
8 5 3 В	0	6	6	0	7	0	0	0	1	0	0	0	20
1 1 8 9 Б	0	6	0	7	7	0	0	0	0	0	0	0	20
1 3 8 4	0	6	6	0	7	0	0	1	0	0	0	0	20
1 5 1 4 В	0	0	6	0	7	0	7	0	0	0	0	0	20
5 Б Долгопрудный	6	6	0	0	0	0	7	0	0	0	0	0	19
1 7 6 А	6	6	0	0	7	0	0	0	0	0	0	0	19
1 7 9 Б	0	6	6	0	7	0	0	0	0	0	0	0	19
3 5 4 А	0	6	5	0	7	0	0	0	0	0	0	1	19
8 5 3 А	0	6	6	0	7	0	0	0	0	0	0	0	19
1 1 8 9 А	0	6	6	0	7	0	0	0	0	0	0	0	19
1 5 1 4 Г	6	6	0	0	7	0	0	0	0	0	0	0	19
1 5 1 8 А	6	6	6	0	0	0	1	0	0	0	0	0	19
1 5 3 4 Б	6	6	0	0	7	0	0	0	0	0	0	0	19
1 7 9 В	0	6	3	0	7	0	0	2	0	0	0	0	18
Кострома А	0	6	6	0	0	0	0	0	0	0	6	0	18
Интеллектуал А	0	6	6	0	4	0	0	0	0	0	0	0	16
1 5 4 3 А	6		0	0	7	0	2	0	0	0	0	0	15
7 Б	0	0	0	0	7	0	0	7	0	0	0	0	14
1 5 2 А	0	6	0	0	7	0	1	0	0	0	0	0	14
4 4 4 Б	0	0	6	0	7	0	1	0	0	0	0	0	14
3 5 4 Б	0	0	0	0	7	0	0	0	0	0	6	0	13
6 5 4 А	0	6	0	0	7	0	0	0	0	0	0	0	13
1 5 6 4 А	0	6	0	0	7	0	0	0	0	0	0	0	13
Москва-Юг Б	0	6	0	0	7	0	0	0	0	0	0	0	13
Ступино Б	6	0	0	0	7	0	0	0	0	0	0	0	13
82 Б Черноголовка	0	6	2	0	2	0	0	0	0	0	0	2	12
1 5 2 Б	0	6	5	0	1	0	0	0	0	0	0	0	12
3 5 4 В	0	0	6	0	1	0	1	1	0	0	0	2	11
2 1 8 А	0	0	0	3	7	0	0	0	0	0	0	0	10
Квантик	0	0	6	0	0	0	3	0	0	0	0	1	10
3 4 5	0	0	0	0	7	0	0	1	0	0	0	0	8
1 5 6 8 В	0	0	0	0	7	1	0	0	0	0	0	0	8
1 5 5 7 А	0	0	4	0	1	0	0	0	0	0	0	2	7
1 5 6 4 Б	0	6	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	7
Ступино А	0	6	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	7
2 Г	0	0	6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	6
1 7 6 Б	0	0	0	0	5	0	0	0	0	0	0	0	5
Мытищи	0	0	0	0	5	0	0	0	0	0	0	0	5
Поварово	2	0	2	0	1	0	0	0	0	0	0	0	5
1 5 7 6 А	0	0	2	0	1	0	0	0	0	0	0	0	3
Солнечногорск	0	0	0	0	2	0	1	0	0	0	0	0	3
1 5 2 В	0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	2
1 2 5 8 Б	0	0	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	2
1 3 0 7	0	0	0	0	2	0	0	0	0	0	0	0	2
1 7 4 1 Б	0	0	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	2
9 8 7	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1
6 5 4 Б	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
315 А	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1 5 1 8 Б	0	0	0	-1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
1 5 7 6 Б	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0