Математическая регата 9 классов 10.10.2009

Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (html-файл)

9 класс.

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Известно, что x и y – различные числа, причем (x – 2008)(x – 2009) = (y – 2008)(y – 2009). Какие значения может принимать выражение x + y?

1.2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 120°. Из середины основания опущен перпендикуляр на боковую сторону. В каком отношении основание перпендикуляра делит боковую сторону?

1.3. Верно ли, что число 999991 – простое?

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. В математической школе все учащиеся сидят за партами по двое, причем у 60% мальчиков сосед по парте – тоже мальчик, а у 20% девочек сосед по парте – тоже девочка. Какую часть учащихся этой школы составляют девочки?

2.2. Точку внутри треугольника соединили отрезками с тремя точками, взятыми по одной на каждой стороне. Докажите, что если из трех образовавшихся четырехугольников два являются вписанными, то и третий четырехугольник также является вписанным.

2.3. 16 карточек занумеровали от числами 1 до 16. Можно ли их выложить вдоль одной прямой так, чтобы сумма номеров на любых двух соседних карточках была точным квадратом?

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

3.1. Докажите, что если а > 0, b > 0 и а + b ³ 2, то а3 + b3 ³ 2.

3.2. Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD перпендикулярны. Через середины сторон АВ и AD проведены прямые, перпендикулярные прямым CD и BC соответственно. Докажите, что точка пересечения этих прямых лежит на прямой АС.

3.3. Два приятеля пришли на базар. Веселый молодец продавал 20 котов по цене от 12 до 15 рублей и 20 мешков по цене от 30 копеек до 1 рубля. При этом цены всех котов и всех мешков попарно различны. Верно ли, что каждый из друзей может купить по коту в мешке так, чтобы они заплатили одинаковую сумму денег?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. Решите уравнение: x4 – 2x2 – 400x = 9999.

4.2. Внутри квадрата АВСD взята точка Р такая, что АР : ВР : СР = 1 : 2 : 3. Найдите угол АРВ.

4.3. Квадрат разделили на прямоугольники, проведя несколько разрезов, параллельно его сторонам (от края до края). Оказалось, что сумма периметров этих прямоугольников в семь раз больше периметра исходного квадрата. Какое наибольшее количество прямоугольников могло получиться?

Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

5.1. Известно, что x + y + z = a и x–1 + y–1 + z–1 = a–1. Какие значения может принимать выражение (x – a)(y – a)(z – a)?

5.2. В треугольнике ABC медиана BM равна стороне AC. На продолжениях сторон BA и AC за точки A и C выбраны точки D и E соответственно, причём AD = AB и CE = CM. Докажите, что прямые DM и BE перпендикулярны.

5.3. Верно ли, что среди чисел вида 2n + 4k (n и k – натуральные числа) бесконечно много квадратов целых чисел?

Результаты регаты:

Команда

I тур

II тур

III тур

IV тур

V тур

Сумма

Диплом

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2 0 0 7 А

6

6

6

7

7

7

8

0

0

9

0

7

0

7

7

77

I

2 1 8 А

6

6

6

7

7

7

8

0

8

0

0

7

4

0

0

66

I

1 5 4 3 В

6

0

6

7

7

7

8

0

8

0

0

0

0

7

7

63

I

8 5 3 А

0

6

6

7

7

7

0

0

8

0

1

7

0

0

7

56

II

2 Б

6

6

6

7

7

7

0

0

0

0

0

9

0

7

0

55

II

1 1 8 9 А

6

6

6

7

7

7

0

0

7

0

0

7

0

0

0

53

II

2 1 8 Б

6

6

6

7

7

7

0

0

0

0

0

3

0

7

0

49

II

1 5 4 3 Б

0

6

6

7

7

7

0

0

0

0

0

8

0

7

0

48

II

1 5 1 4 Б

6

6

7

7

0

0

0

0

0

0

7

6

5

0

44

III

1 5 4 3 Д

0

4

4

7

7

7

0

0

0

-1

0

9

7

0

0

44

III

2 0 0 7 Д

6

6

0

7

7

7

0

0

0

9

0

2

0

0

0

44

III

2 В

0

6

6

7

7

0

0

0

0

0

0

7

0

7

3

43

III

1 5 1 4 Г

6

6

0

7

7

7

0

0

0

0

0

9

0

0

42

III

5 7 А

0

6

6

7

7

0

0

0

0

0

1

7

0

7

0

41

III

1 5 5 7 А

0

0

6

7

7

7

0

0

0

0

0

0

7

7

0

41

III

2 Д

6

6

6

7

7

0

0

0

0

0

0

0

0

7

0

39

ПП

1 5 4 3 А

6

6

0

-1

7

7

0

0

0

0

0

0

7

7

0

39

ПП

8 5 3 Б

6

6

6

7

0

7

-1

0

0

0

0

0

0

7

0

38

ПП

3 1 5

0

6

0

7

7

7

0

0

0

0

0

3

0

7

0

37

2 1 8 В

0

0

6

7

7

0

0

0

0

0

9

0

7

0

0

36

Интеллектуал А

6

0

0

7

0

7

0

0

0

0

0

7

0

7

0

34

1 5 1 4 В

6

6

6

0

7

0

0

0

0

0

1

0

0

7

0

33

1 5 4 3 Г

6

0

6

7

7

0

0

0

0

0

0

0

0

7

0

33

30 С-Пб

6

0

6

7

4

0

0

0

0

0

0

9

0

0

0

32

1 5 3 4 Б

0

6

0

7

5

7

0

0

0

0

0

7

0

0

0

32

Интеллектуал В

0

0

0

0

7

7

0

1

0

9

0

8

0

0

0

32

1 5 2 4 А

0

5

6

7

7

7

-1

0

0

-1

0

0

0

0

0

30

1 5 3 7 А

0

6

0

7

7

0

0

0

0

9

1

0

0

0

0

30

1 7 9 Б

0

6

0

7

7

0

0

0

0

0

9

0

0

0

29

4 4 4 А

0

0

0

7

7

0

0

0

0

0

0

7

0

7

0

28

1 1 8 9 Б

0

6

0

7

7

0

0

0

0

0

0

8

0

0

0

28

2 1 8 Д

6

6

0

7

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

26

1 5 6 8 Б

6

6

0

7

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

26

2 0 0 7 Б

6

0

0

0

7

7

0

0

0

0

0

5

0

0

0

25

2 0 0 7 В

6

6

6

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

25

2 0 0 7 Г

6

0

6

7

0

7

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

25

1 5 6 8 А

6

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

2

7

2

0

24

5 7 Б

0

6

5

5

0

0

0

0

0

0

7

0

0

0

23

2 Г

7

6

7

0

0

0

0

0

2

0

22

1 1 8 9 В

6

0

0

7

0

7

0

0

0

0

0

2

0

0

0

22

5 4 Б

6

0

7

7

0

0

0

0

0

0

0

0

20

5 7 Г

6

0

0

7

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

20

1 5 1 4 А

6

0

0

3

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

16

Переславль

0

0

0

7

0

7

0

0

0

0

0

2

0

0

0

16

1 5 8 1 А

6

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

15

Интеллектуал Г

0

6

0

0

7

0

0

0

0

0

2

0

0

0

15

5 4 А

7

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

14

1 7 9 А

0

0

0

7

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

14

1 1 8 9 Г

0

0

0

7

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

14

1 3 8 4

0

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

7

0

0

0

14

1 5 5 7 В

7

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

14

Интеллектуал Б

0

0

0

7

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

14

7

0

0

6

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

13

2 1 8 Г

0

6

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

13

1 5 1 1 А

6

0

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

13

1 5 1 1 Б

0

6

0

7

0

0

0

0

0

0

0

13

1 5 3 4 А

6

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

13

Троицк А

6

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

13

5 4 6 Б

0

6

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

12

1 5 3 7 Б

6

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

12

1 5 5 7 Б

6

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

12

2 А

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

1 5 2 А

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

1 5 2 5 А

0

0

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

1 5 8 1 В

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

1 7 4 1 А

0

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

1 7 4 1 Б

0

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

Троицк Б

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

0

0

0

7

9 1 А

0

0

-1

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6

1 5 6 4 А

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

6 3 3

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1 5 6 4 Б

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5 4 6 А

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 5 2 4 Б

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 5 2 5 Б

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 5 3 7 В

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 5 3 7 Д

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1 5 8 1 Б

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 5 8 1 Г

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 7 6

0

0

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

-1

1 5 3 7 Г

0

0

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

-1

Rambler's
Top100 Rambler's Top100