Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (pdf-файл)

7 класс

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)

1.1. В стаде, состоящем из лошадей, двугорбых и одногорбых верблюдов, в общей сложности 200 горбов. Сколько животных в стаде, если количество лошадей равно количеству двугорбых верблюдов? Ответ обоснуйте.

1.2. В окружности провели диаметр AB и параллельную ему хорду CD, так, что расстояние между ними равно половине радиуса этой окружности (см. рис.). Найдите угол CAB.

1.3. Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом. Ответ обоснуйте.

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)

2.1. Из четырех неравенств 2x > 70, x < 100, 4x > 25 и x > 5 два истинны и два ложны. Найдите значение x, если известно, что оно целое.

2.2. Какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, в которой 7 звеньев?

2.3. Можно ли в клетки квадрата 1010 поставить некоторое количество звездочек так, чтобы в любом квадрате 22 было ровно две звездочки, а в любом прямоугольнике 31 – ровно одна звездочка? (В каждой клетке может стоять не более одной звездочки.)

Третий тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)

3.1. Существуют ли такие целые числа x, y и z, для которых выполняется равенство:

(x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 2011?

3.2. Дан квадрат ABCD. На стороне AD внутрь квадрата построен правильный треугольник ADE. Диагональ AC пересекает сторону ED этого треугольника в точке F. Докажите, что CE = CF.

3.3. Десять друзей послали друг другу открытки: каждый послал ровно пяти друзьям, каждому – по одной открытке. Всегда ли найдутся двое, которые послали открытки друг другу?

Четвертый тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов)

4.1. Вася выписал все трехзначные числа и вычислил в каждом числе произведение его цифр, а затем сложил все полученные произведения. Какое число у него получилось?

4.2. В треугольниках АВС и A1B1C1: А = А1; равны высоты, проведенные из вершин В и В1; равны медианы, проведенные из вершин С и С1. Обязательно ли эти треугольники равны?

4.3. Существуют ли пять таких двузначных составных чисел, что любые два из этих чисел взаимно просты? (Напомним, что взаимно простыми называются числа, у которых наибольший общий делитель равен 1.)

Результаты

Команда I II III IV Диплом
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Интеллектуал А 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 84 I
2007 А 6 6 6 7 2 7 7 7 7 8 8 8 79 II
179 Б 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 0 8 76 II
179 Г 6 6 7 7 6 7 7 7 0 8 8 69 II
179 А 6 2 6 7 3 7 7 7 7 8 0 8 68 II
179 В 6 4 6 7 7 7 7 7 7 0 0 8 66 II
2 А 6 0 6 7 7 7 7 7 7 0 0 8 62 III
Фрактал С-Петербург 6 1 6 7 7 7 7 7 7 0 0 6 61 III
2 В 6 0 2 7 7 7 7 7 0 1 8 8 60 III
5 А Долгопрудный 6 3 6 7 0 7 7 7 0 8 0 8 59 III
2007 Б 6 0 6 7 7 7 7 4 7 0 0 8 59 III
2007 В 6 2 6 7 7 7 7 7 0 8 0 2 59 III
1514 А 0 1 6 7 7 7 0 7 6 1 8 8 58 III
2 Г 6 0 0 7 0 7 7 7 7 0 8 8 57 III
1189 А 0 0 6 7 7 7 7 7 7 8 0 0 56 III
30 С-Петербург 6 3 1 7 7 7 7 0 7 0 0 8 53 пп
Кострома Б 0 0 6 7 2 7 7 1 7 8 0 8 53 пп
853 Б 6 0 6 7 3 7 7 0 6 8 0 1 51 пп
1543 Г 6 0 7 0 7 7 7 0 8 0 8 50 пп
2 Б 0 0 6 7 0 0 7 7 7 7 0 8 49 пп
1543 Б 6 0 2 7 7 0 7 7 7 4 0 0 47 пп
2007 Г 0 6 0 7 7 7 7 7 0 0 0 4 45 пп
5 Б Долгопрудный 6 0 0 7 0 7 7 2 7 0 0 8 44 пп
218 Б 6 0 6 7 0 0 7 3 7 1 0 4 41
Интеллектуал В 6 0 2 7 3 7 7 0 7 0 0 2 41
444 В 6 0 1 7 2 7 7 7 0 0 0 2 39
853 А 0 0 0 7 7 0 7 7 0 0 0 8 36
Интеллект Мытищи 6 0 0 7 3 6 7 3 0 0 0 3 35
1515 Б 6 0 1 7 7 7 7 0 -1 0 0 0 34
1543 А 6 6 0 7 2 0 7 6 0 0 0 0 34
1568 Б 6 0 2 7 2 0 7 1 0 0 7 32
Квантик 6 0 2 7 2 7 0 0 7 0 31
5 В Долгопрудный 1 0 4 7 2 7 7 0 0 0 0 2 30
ЦДО 1 0 1 7 6 7 7 0 0 0 0 0 29
218 А 6 0 6 0 0 7 7 0 0 0 0 2 28
1514 Б 0 2 1 7 2 7 7 2 0 0 0 0 28
1543 Д 6 0 4 0 2 0 7 1 0 8 0 0 28
Кострома А 6 0 1 0 3 7 0 0 7 0 0 4 28
1543 В 6 0 0 7 7 0 0 7 0 0 0 27
1514 В 6 1 1 7 0 7 0 0 0 0 0 0 22
1189 Б 0 0 6 7 2 6 0 0 0 0 0 0 21
Интеллектуал Д 0 0 0 0 7 7 0 2 3 0 0 2 21
354 6 0 1 0 0 7 7 -1 0 0 0 0 20
Интеллектуал Г 6 0 2 0 2 7 0 0 3 0 0 0 20
152 Б 0 0 2 0 3 7 7 0 0 0 0 0 19
1205 6 0 1 2 3 7 0 0 0 0 0 19
Интеллектуал Б 0 0 1 7 2 7 0 0 0 0 0 0 17
152 А 0 0 1 0 0 0 7 0 0 8 0 0 16
ДНТТМ Б 0 0 0 1 7 0 7 1 0 0 0 0 16
82 Черноголовка 0 1 1 3 2 0 7 0 0 0 0 1 15
1384 0 0 2 0 0 7 7 0 0 -1 0 0 15
1553 В 0 3 1 0 2 7 0 0 0 0 0 2 15
6 Мытищи 6 0 1 0 7 0 0 0 0 0 14
45 1 1 1 3 0 7 0 0 0 0 0 1 14
1557 0 0 0 1 2 2 7 1 0 0 0 0 13
Подольск 6 0 1 0 0 6 0 0 0 0 0 0 13
444 А 0 1 0 0 2 0 5 0 0 4 0 12
548 0 0 1 7 2 0 0 2 0 0 0 0 12
853 В 0 0 0 0 3 0 7 0 0 0 0 2 12
ДНТТМ А 0 1 1 2 7 0 0 0 0 0 1 12
444 Б 1 0 2 0 0 7 0 1 0 0 0 0 11
363 0 0 0 0 0 7 0 -1 0 0 0 4 10
1553 Б 0 0 0 3 0 7 0 0 0 0 0 0 10
1568 А 0 0 0 0 0 0 7 2 0 0 0 1 10
1505 Б 0 0 0 7 2 0 0 0 0 0 0 0 9
1553 А 0 0 1 1 0 6 1 0 0 0 0 0 9
1560 6 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 9
1505 А 0 0 2 0 2 0 0 3 0 0 0 0 7
1505 В 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2
1515 А 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1