Математическая регата 7 классов 27.04.2013
Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (pdf-файл)Первый тур (10 минут;
каждая задача – 6 баллов)
1.1. Графики функций у
= kx + b и у = bx + k пересекаются. Найдите абсциссу точки пересечения.
1.2. Можно ли расположить на плоскости четыре точки А, В,
С и D так, чтобы прямые АВ
и CD,
АС и BD, AD
и ВС были перпендикулярны?
1.3. Перед началом чемпионата школы по шахматам каждый из
участников сказал, какое место он рассчитывает занять. Семиклассник Ваня
сказал, что займет последнее место. По итогам чемпионата все заняли различные
места, и оказалось, что каждый, кроме, разумеется, Вани, занял место хуже, чем
ожидал. Какое место занял Ваня?
Второй тур (15 минут;
каждая задача – 7 баллов)
2.1. В десятичной записи числа 
зачеркнули 2013-ую
цифру после запятой (а другие цифры не меняли). Как изменилось число:
увеличилось или уменьшилось?
2.2. Даны два треугольника. Сумма двух
углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары
углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что
первый треугольник – равнобедренный?
2.3. Имеет ли решение ребус АПЕЛЬСИН – СПАНИЕЛЬ = 2012×2013?
Третий тур (15 минут;
каждая задача – 7 баллов)
3.1. Известно, что Толя поймал рыб больше, чем Коля, а Петя и
Вася вместе поймали рыб столько же, сколько Коля и Толя вместе. Кроме того,
Толя и Петя вместе поймали меньше, чем Вася и Коля. Кто из них поймал больше
всех рыб, а кто – меньше всех?
3.2. Высота AK, биссектриса BL и
медиана CM треугольника АВС пересекаются в точке О, причем АО = ВО. Докажите, что
треугольник АВС – равносторонний.
3.3. Известно, что а, b
и c – различные
составные натуральные числа, но каждое из них не делится ни на одно из целых чисел
от 2 до 100 включительно. Докажите, что если эти числа – наименьшие из
возможных, то их произведение abc является
кубом натурального числа.
Четвертый тур (20
минут; каждая задача – 8 баллов)
4.1. Известно, что каждое из чисел x и y можно
представить в виде суммы квадратов каких-то двух целых чисел. Докажите, что
число xy
также является суммой квадратов каких-то двух целых чисел.
4.2. Существует ли пятиугольник, который одним прямолинейным
разрезом можно разбить на три части так, что из двух частей можно будет сложить
третью?
4.3. На белых и чёрных клетках доски 10´10 стоит по
одинаковому количеству ладей так, что никакие две ладьи друг друга не бьют.
Докажите, что на эту доску можно поставить еще одну ладью так, чтобы она не
била никакую из уже стоящих.