Математическая регата 9 классов 06.10.2012

Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (pdf-файл)

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)

1.1. Решите уравнение: .

1.2. Существует ли трапеция, в которой каждая диагональ разбивает ее на два равнобедренных треугольника?

1.3. Может ли произведение трех трехзначных чисел, для записи которых использовано девять различных цифр, оканчиваться четырьмя нулями?

 

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)

2.1. Три фирмы А, В и С решили совместно построить дорогу длиной 16 км, договорившись финансировать этот проект поровну. В итоге, А построила 6 км дороги, В построила 10 км, а С внесла свою долю деньгами – 16 миллионов рублей. Каким образом фирмы А и В должны разделить эти деньги между собой?

2.2. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках A, B, C и D. Докажите, что ∠APB = ∠CQD.

2.3. В круговом шахматном турнире участвует 9 мальчиков и 3 девочки (каждый играет с каждым один раз, победа – 1 очко; ничья – 0,5; поражение – 0). Может ли в итоге оказаться, что сумма очков, набранных всеми мальчиками, будет равна сумме очков, набранных всеми девочками?

 

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

3.1. Докажите, что если а > 0, b > 0, c > 0 и аb + bc + ca ³ 12, то a + b + c ³ 6.

3.2. В выпуклом четырехугольнике АВСD биссектрисы углов CAD и CBD пересекаются на стороне CD. Докажите, что биссектрисы углов АСВ и ADB пересекаются на стороне АВ.

3.3. Может ли число (x2 + x + 1)2 + (y2 + y + 1)2 при каких-то целых x и y оказаться точным квадратом?

 

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. Известно, что модули корней каждого из двух квадратных трехчленов x2 + ax + b и

x2 + cx + d меньше десяти. Может ли трехчлен иметь корни, модули которых не меньше десяти?

4.2. В остроугольном треугольнике ABC проведены биссектриса AD и высота BE. Докажите, что ∠CED > 45° .

4.3. На тарелке лежат 9 разных кусков сыра. Всегда ли можно разрезать не более одного из кусков на две части так, чтобы получившиеся 10 кусков сыра можно было разложить на две порции равной массы по 5 кусков в каждой?

 

Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

5.1. На координатной плоскости задан график функции y = kx + b (см. рисунок). В той же координатной плоскости схематически постройте график функции y = kx2 + bx. Решение поясните.

 

 

 

 

5.2. Длина прямоугольного участка равна 4 метра, а ширина – 1 метр. Можно ли посадить на нем три дерева так, чтобы расстояние между любыми двумя деревьями было не меньше, чем 2,5 метра?

5.3. На поляне пасутся 150 коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в полдень некоторые козы перепрыгнули на другие участки. Пастух подсчитал, что на каждом участке количество коз изменилось, причем ровно в семь раз. Не ошибся ли он?

Результаты

I II III IV V Итог Диплом
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
25 А 6 0 0 7 7 7 7 8 0 9 9 9 7 7 7 90 I
2 А 6 6 6 7 0 7 8 8 8 0 9 9 7 1 7 89 I
1329 2 5 7 8 8 8 9 9 6 7 7 7 83 II
2007 А 6 0 6 7 0 7 8 8 0 5 0 9 7 7 7 77 II
Кострома А 6 0 6 7 7 7 8 8 8 0 0 9 1 0 7 74 II
1514 Б 6 6 6 7 6 7 8 8 5 0 0 0 7 7 0 73 II
2 В 6 0 6 7 7 7 0 8 8 7 0 3 0 1 7 67 III
179 Б 6 0 0 0 7 7 8 8 8 9 0 0 7 7 0 67 III
179 В 6 6 6 7 0 7 0 8 8 0 0 4 0 7 7 66 III
Интеллектуал 6 6 6 7 0 7 0 0 0 0 9 9 0 7 7 64 III
1543 Б 6 6 6 7 0 7 8 8 0 0 0 0 0 7 7 62 III
2 Г 6 0 6 0 7 8 8 8 0 0 6 7 0 0 56 ПП
5А Долгопрудный 6 0 6 7 7 7 7 8 0 0 0 0 0 7 55 ПП
2007 Б 6 0 6 7 0 7 0 0 0 0 2 9 0 7 7 51 ПП
5Б Долгопрудный 6 0 6 7 7 7 0 8 0 9 0 0 0 0 0 50 ПП
179 А 6 0 6 7 7 7 4 0 0 0 0 0 0 7 3 47 ПП
1543 В 6 6 0 7 0 5 8 8 0 0 0 0 7 0 0 47 ПП
2 Б 0 6 0 7 0 7 0 0 8 0 0 9 0 7 0 44 ПП
30 С-Петербург 6 0 6 0 0 7 8 0 3 7 0 0 7 0 0 44 ПП
4 4 4 Г 6 6 0 7 0 7 0 8 1 0 0 0 7 0 0 42 ПП
Интеллект Мытищи 5 0 0 7 0 7 8 0 0 1 0 0 7 1 6 42 ПП
1384 0 6 6 7 0 7 0 0 0 0 0 0 7 1 6 40
218 А 0 0 0 7 0 7 8 0 0 0 0 0 1 7 7 37
5В Долгопрудный 6 0 0 7 0 7 0 8 0 0 0 0 7 0 35
2 Д 6 0 0 7 0 7 0 0 0 0 0 7 7 1 0 35
1189 В 6 0 6 7 0 7 0 0 8 0 0 0 0 1 0 35
1514 В 6 6 0 0 0 7 0 8 1 0 0 0 7 0 0 35
3 1 5 0 6 0 7 0 7 0 0 1 0 0 9 1 1 0 32
1514 А 6 6 0 0 0 7 0 8 0 0 0 0 5 0 0 32
1543 А 6 0 6 7 7 0 0 -1 0 0 0 0 0 7 0 32
179 Г 6 0 0 0 0 7 0 0 8 0 0 0 7 0 0 28
2007 В 6 0 0 0 0 7 1 8 0 0 0 0 0 0 6 28
54 Б 6 6 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 7 1 0 27
54 В 2 0 0 0 0 7 0 0 1 0 0 7 0 7 0 24
1199 6 0 0 7 0 5 0 0 0 0 0 0 5 1 0 24
1534 Б 0 0 0 7 0 7 0 0 0 9 0 0 0 1 0 24
1534 А 6 0 6 0 0 7 0 5 0 -1 0 0 0 0 0 23
1557 Б 6 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 9 0 1 0 23
1568 Г 7 0 0 0 8 8 0 0 0 0 0 0 23
54 А 3 0 0 7 0 6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 22
1568 В 7 0 7 0 0 0 0 0 0 7 1 0 22
1580 Б 0 0 6 0 0 7 0 0 1 0 0 0 7 1 0 22
4 4 4 А 6 0 0 7 0 0 0 8 0 0 0 0 21
4 4 4 В 6 0 0 7 0 7 0 0 0 0 0 0 0 1 0 21
1537 А 6 6 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 1 0 21
1537 Б 6 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 7 1 0 21
1557 В 6 0 0 7 0 7 0 0 0 0 0 0 0 1 0 21
2007 Г 6 0 0 0 7 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 21
6 Мытищи 0 7 8 0 0 0 0 0 1 0 16
1189 А 6 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 16
2007 Д 1 0 0 7 0 7 0 0 0 0 0 0 0 1 0 16
218 Б 6 0 0 7 0 3 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 15
5 4 6 Б 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 7 1 0 15
Дедовск 6 0 0 0 0 7 0 0 2 0 0 0 0 0 15
25 Б 0 0 0 7 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14
1189 Б 6 0 6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 14
1514 Г 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 1 0 14
1537 В 6 0 6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 14
1557 А 6 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 1 0 14
192 0 0 0 7 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14
Троицк Б 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 1 0 14
1580 А 6 0 0 0 0 7 0 -1 -1 0 0 0 2 0 13
1511 0 0 7 1 0 0 0 0 0 1 1 0 10
1505 0 0 0 7 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 9
Гусь-Хрустальный А 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 9
3 6 3 А 6 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 8
9 4 9 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 8
1515 Б 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 1 0 8
1564 В 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 1 0 8
1568 Б 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 8
3 6 3 Б 0 0 0 7 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 7
5 4 6 А 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7
1498 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 7
1564 Г 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 7
1568 А 0 0 7 0 0 0 0 7
1515 А 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6
Троицк А 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 7 6
ЦДО ЛМШ 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 6
Гусь-Хрустальный Б 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 4
1564 А 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3
4 4 4 Б 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
1189 Г 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
1564 Б 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
1580 В 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 9 6 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 -1