9 класс.
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).
1.1. Прямые y = kx + b и y = bx + k различны и пересекаются в одной точке. Какими могут быть ее координаты?
1.2. Существует ли выпуклый четырехугольник, у которого каждая диагональ не больше, чем любая сторона?
1.3. Можно ли в клетки таблицы размером 4×4 вписать по целому числу так, чтобы сумма всех чисел таблицы была положительной, а сумма чисел в каждом квадрате размера 3×3 была отрицательной?
Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
2.1. Докажите, что если a ≤ 1, b ≤ 1 и a + b ≥ 0,5, то (1 – a)(1 – b) ≤ 
2.2. В треугольнике ABC угол C равен 135°. На стороне AB вне треугольника построен квадрат с центром O. Найдите OC, если AB = 6.
2.3. Перемножили несколько натуральных чисел и получили 224, причем самое маленькое число было ровно вдвое меньше самого большого. Сколько чисел перемножили?
Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).
3.1. По дорожке стадиона длиной 400 метров из одной точки в одном направлении выбегают три спортсмена с постоянными скоростями 12 км/ч, 15 км/ч и 17 км/ч. Найдите, через какое наименьшее время спортсмены поравняются.
3.2. В треугольнике ABC из вершин A и B проведены биссектрисы, а из вершины C – медиана. Оказалось, что точки их попарного пересечения образуют прямоугольный равнобедренный треугольник. Найдите углы треугольника ABC.
3.3. На острове 100 рыцарей и 100 лжецов. У каждого из них есть хотя бы один друг. Однажды ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – рыцари" и ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – лжецы". Каково наименьшее возможное количество пар друзей, один из которых рыцарь, а другой лжец?
Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).
4.1. Числа x, y и z таковы, что 
. Какие значения может принимать выражение 
4.2. Дан остроугольный треугольник ABC. Точки B' и C' симметричны его вершинам B и C относительно прямых AC и AB соответственно. Окружности, описанные около треугольников ABB' и ACC' вторично пересекаются в точке P. Докажите, что прямая AP проходит через центр окружности, описанной около ABC.
4.3. На экране компьютера – число 141. Каждую секунду компьютер перемножает все цифры числа на экране, полученное произведение либо прибавляет к этому числу, либо вычитает из него, а результат появляется на экране вместо исходного числа. Появится ли еще когда-нибудь на экране число 141?
Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
