10 класс.
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).
1.1. Сумма трёх чисел равна нулю. Может ли сумма их попарных произведений быть положительной?
1.2. Дан треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Построены три круга радиусами 1 с центрами в вершинах треугольника. Найдите суммарную площадь частей кругов, заключенных внутри треугольника.
1.3. Три трехзначных простых числа, составляющие арифметическую прогрессию, записаны подряд. Может ли полученное девятизначное число быть простым?
Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
2.1. Найдите 
, если 
.
2.2. В прямоугольном параллелепипеде АВСDA’B’C’D’ АВ = ВС = а, AA’ = b. Его ортогонально спроектировали на некоторую плоскость, содержащую ребро CD. Найдите наибольшее значение площади проекции.
2.3. Натуральные числа 1, 2, ..., 199, 200 разбили на 50 множеств. Всегда ли хотя бы в одном из множеств найдутся три числа, являющиеся длинами сторон какого-либо треугольника?
Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).
3.1. По положительным числам х и у вычисляют а =
и b = y +
. После этого находят С – наименьшее число из трех: x, a и b. Какое наибольшее значение может принимать C?
3.2. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, АС = а, BD = b, AB⊥CD. Найдите радиус окружности
3.3. В турнире участвовало 11 шахматистов: 4 – из России и 7 зарубежных. Каждый шахматист сыграл с каждым по две партии (выигрыш – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). По окончании турнира оказалось, что все участники набрали различное количество очков, причем сумма очков, набранных россиянами, равна сумме очков, набранных иностранцами. Могло ли в тройке призеров не оказаться ни одного россиянина?
Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).
4.1. Найдите все строго возрастающие последовательности натуральных чисел a1, a2, …, an, ..., в которых a2 = 2 и anm = anam для любых натуральных n и m
4.2. Дан неравнобедренный остроугольный треугольник АВС. Вне его построены равнобедренные тупоугольные треугольники АВ1С и ВА1С с одинаковыми углами α при их основаниях АС и ВС. Перпендикуляр, проведенный из вершины С к отрезку А1В1 пересекает серединный перпендикуляр к стороне АВ в точке С1. Найдите угол АС1В.
4.3. Решите в целых числах уравнение (x2 – y2)2 = 16y + 1.
Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
