Математическая регата 11 классов 22.11.2014

Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (pdf-файл)

11 класс.

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Решите систему:

1.2. Существует ли выпуклый 1000-угольник, у которого все углы выражаются целыми числами градусов?

1.3. ТСуществует ли такая цифра а, что

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. Числовая функция f такова, что для любых x и y выполняется равенство f(x + y) = f(x) + f(y) + 80xy. Найдите f(1), если f(0,25) = 2.

2.2. Четырёхугольник АВСD – вписанный. Лучи АВ и пересекаются в точке M, а лучи ВС и AD – в точке N. Известно, что ВМ = DN. Докажите, что CM = CN.

2.3. На доске размером 88 в углу расставлены 9 фишек в форме квадрата 33. Любая фишка может прыгать через другую фишку на свободную клетку (по горизонтали, вертикали или диагонали). Можно ли за некоторое количество прыжков расставить фишки в форме такого же квадрата в каком-либо другом углу доски?

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

3.1. Решите систему уравнений:

3.2. Точки D, Е и F – середины сторон ВС, АС и АВ треугольника АВС соответственно. Через центры вписанных окружностей треугольников AEF, BDF и СDE проведена окружность. Докажите, что ее радиус равен радиусу окружности, описанной около треугольника DEF.

3.3. На столе выложены в ряд 64 гирьки, причем масса двух любых соседних гирек отличается на 1 г. Требуется разложить гирьки на две кучки с равными массами и равным количеством гирь. Всегда ли это удастся?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. Существуют ли такие две функции с наименьшими положительными периодами 2 и 6, что их сумма имеет наименьший положительный период 3?

4.2. В тетраэдре АВСD: АВ = 8, ВС = 10, АС = 12, BD = 15. Известно, что четыре отрезка, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противолежащие грани, пересекаются в одной точке. Найдите длины ребер DA и DC.

4.3. В равенстве х5 + 2x + 3 = pk числа х и k – натуральные. Может ли число р быть простым?

Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

5.1. Найдите наименьшее значение дроби , если

5.2. Правильный треугольник со стороной 1 разрезан произвольным образом на равносторонние треугольники, в каждый из которых вписан круг. Найдите сумму площадей этих кругов.

5.3. Сумма цифр натурального числа n равна сумме цифр числа 2n + 1. Могут ли быть равными суммы цифр чисел 3n – 3 и n – 2?

Результаты регаты:

Команда 1 тур 2 тур 3 тур 4 тур 5 тур Сумма Диплом
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 А 6 6 6 7 7 7 8 8 8 0 9 9 7 7 7 102 I
30 Б С.Петербург 6 6 0 7 7 7 8 8 8 8 6 9 7 7 7 101 I
СУНЦ Б 6 5 6 7 7 7 0 7 8 5 9 9 7 7 7 97 I
30 А С.Петербург 6 6 6 7 7 7 5 8 7 0 9 1 7 7 7 90 II
Матгимназия А 6 6 5 7 7 7 0 8 8 9 9 1 1 6 7 87 II
2007 Д 6 6 6 7 7 7 0 8 8 0 4 9 3 7 7 85 II
2 Е 6 0 6 7 7 6 1 8 8 0 9 9 3 7 7 84 II
2007 Г 6 6 6 7 0 7 1 8 8 5 8 1 7 6 7 83 II
1329 + 1 6 6 7 7 7 8 8 8 1 0 1 7 7 7 81 III
СУНЦ А 6 6 0 7 7 7 1 8 8 0 9 1 7 7 7 81 III
218 Г 6 6 6 7 7 7 1 8 8 0 0 9 6 1 7 79 III
1543 6 0 0 7 4 7 1 8 8 0 8 9 0 7 7 72 ПП
2 Г 6 0 6 7 0 7 1 8 8 3 0 9 3 7 7 72 ПП
2 Б 6 6 6 7 7 7 0 8 8 0 0 1 1 7 7 71 ПП
СУНЦ В 6 6 6 7 7 7 1 7 8 0 0 1 3 6 0 65 ПП
2007 В 2 6 6 7 0 7 1 8 4 0 0 9 7 7 0 64 ПП
1511 Б 0 6 6 7 7 7 5 0 2 0 0 9 0 7 0 56
5 А Долгопрудный 3 5 0 7 7 7 1 8 0 0 6 9 0 1 2 56
218 В 0 6 0 7 7 7 0 8 6 0 0 0 6 7 0 54
2007 Б 6 6 6 7 0 7 0 0 8 0 0 1 7 1 0 49
1534 6 6 0 7 0 0 0 8 8 0 0 0 6 7 0 48
5 Б Долгопрудный 0 0 6 7 0 0 1 2 8 9 0 1 7 7 0 48
315 Б 0 6 1 7 7 3 7 1 0 0 0 0 7 1 7 47
218 А 0 6 6 7 0 3 0 0 8 0 9 0 7 0 0 46
1189 Б 3 6 6 7 0 7 1 2 0 0 0 0 7 4 0 43
315 А 6 6 6 7 0 0 1 3 0 0 0 0 7 7 0 43
1511 А 6 6 6 7 0 0 0 0 8 0 0 0 7 0 0 40
2 В 0 1 6 7 0 0 1 8 8 0 0 1 0 7 0 39
2007 А 6 6 6 7 0 3 7 0 -1 2 0 1 0 1 0 38
444 А 3 6 6 7 0 1 1 0 8 0 0 0 1 5 0 38
СУНЦ Г 3 6 6 7 0 0 1 0 0 0 0 0 7 0 0 30
Матгимназия Б 0 7 0 0 0 0 8 0 0 7 7 0 29
1189 А 0 6 0 7 7 0 1 0 0 0 0 0 0 7 0 28
2 Д 6 0 0 7 0 0 0 3 0 0 0 0 5 7 0 28
218 Б 0 0 6 7 0 0 0 8 0 0 0 0 0 1 0 22
ЦДО 0 0 0 7 0 0 1 0 0 0 0 1 6 0 0 15
1303 А 0 0 0 7 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 13
1303 Б 0 0 0 7 0 0 1 1 0 0 0 0 3 1 0 13
315 В 0 6 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0 0 13
363 Б 7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 9
315 Г 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 0 8
1590 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2
1793 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Rambler's
Top100 Rambler's Top100