Математическая регата 9 классов 13.10.2018

1.1. Существуют ли два целых числа, разность квадратов которых равна 2018?

1.2. Стороны и одна из диагоналей одного четырехугольника соответственно равны сторонам и диагонали другого. Обязательно ли эти четырехугольники равны?

1.3. На бесконечной шахматной доске стоят две фигуры: ладья и ферзь, из которых ни одна не бьет другую. Какое количество клеток может находиться под боем обеих фигур?

2.1. Петя отправился пешком из лагеря в поселок. В 12.00, когда Петя был в а км от лагеря, его нагнал велосипедист, посадил и подвез, высадив в а км от поселка. После этого Петя пришел в поселок в 14.00. Сколько времени потребуется Пете на обратный путь пешком из поселка в лагерь, если известно, что на велосипеде его везли со скоростью вдвое большей, чем он ходит пешком?

2.2. Касательная к описанной окружности треугольника АВС, проведенная в точке В, пересекает прямую АС в точке Р. Окружность с центром Р и радиусом РВ пересекает сторону АС в точке Q. Докажите, что BQ – биссектриса треугольника АВС.

2.3. Найдите все такие натуральные m и n, что .

3.1. Найдите наибольшее значение суммы , если a + b + c = 6.

3.2. В треугольнике АВС проведена медиана AD, DP и DQ – биссектрисы треугольников ABD и ACD соответственно, E – точка пересечения AD и PQ. Найдите PQ, если DE = 2.

3.3. Таблицу размером 3×3 надо заполнить числами –1, 0 и 1 так, чтобы суммы чисел в строках были одинаковыми. Сколькими способами это можно сделать? (Способы считаются различными, если различаются полученные таблицы. Все числа использовать не обязательно.)

4.1. Решите уравнение:

4.2. Три стороны и диагонали одного четырехугольника соответственно равны трем сторонам и диагоналям другого. Обязательно ли эти четырехугольники равны?

4.3. В шахматном турнире по круговой системе (каждый играет с каждым ровно один раз, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0) каждый из шахматистов, избежавших трех последних мест, половину своих очков набрал во встречах с тремя участниками, занявшими последние три места. Найдите наибольшее возможное количество участников турнира.

5.1. Составьте уравнение какого-нибудь приведённого квадратного трёхчлена y = x² + px + q, график которого пересекает оси координат в вершинах треугольника площади 15.

5.2. Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает его описанную окружность в точке D. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС пересекают AD в точках М и N соответственно. Докажите, что AM = DN.

5.3. Является ли простым число 16016003?

Результаты регаты: