Математическая регата 8 классов 25.01.2020

1.1. Найдите значение выражения

1.2. Существует ли параллелограмм, который можно разрезать на семь попарно неравных трапеций?

1.3. На какую цифру нужно заменить * так, чтобы разность 98765 – 4321* была кратна 12?

2.1. Каждый цветок на поляне цветет ровно 30 дней. Известно, что каждый день пять цветков увядают, а взамен распускаются пять новых. Сколько цветущих цветков на поляне?

2.2. О – центр квадрата ABCD. Точка Р внутри квадрата такова, что треугольник APD – равносторонний. М и N – середины отрезков ВР и СР. Докажите, что треугольник MON – также равносторонний.

2.3. В десяти лунках, расположенных по кругу, лежат 55 камней. В любых двух лунках разное количество камней и пустых лунок нет. Докажите, что найдутся три лунки, стоящие подряд, в которых в сумме меньше, чем 16 камней.

3.1. Про положительные числа а, b и с известно, что а² < b, b² < c, c² < a. Докажите, что каждое их этих чисел меньше единицы.

3.2. Биссектриса CF и высота ВН треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника, если СО = OF и ВО = 2ОН.

3.3. В семье шестеро детей. Пятеро из них старше самого младшего на 2, 6, 8, 12 и 14 лет соответственно. Сколько лет младшему, если возрасты всех детей – простые числа?

4.1. Можно ли, используя только сложение и вычитание, получить ноль из квадратов первых двухсот натуральных чисел?

4.2. Угол В ромба АВСD равен 40°, Е – середина ВС, F – основание перпендикуляра, опущенного из А на DE. Найдите угол DFC.

4.3. В однокруговом футбольном турнире играют восемь команд, четыре из которых выходят в финал. Какое наименьшее количество очков гарантирует выход в финал? (Победа – 3 очка, ничья – 1 очко, поражение – 0.)

Результаты регаты: