Математическая регата 9 классов 19.10.2019

1.1. На доске записано верное равенство вида a^b = c, где a, b и c – различные натуральные числа, при этом в обеих частях равенства использован один и тот же набор цифр. Один из возможных примеров такого равенства: 5² = 25. Укажите ещё два примера (одну и ту же цифру можно использовать несколько раз).

1.2. Можно ли на квадратном листе со стороной 1 разместить несколько непересекающихся кругов, сумма радиусов которых равна 2019?

1.3. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен половине большего из них. Обязательно ли он равен меньшему из этих чисел?

2.1. Из пунктов А и В одновременно начали движение навстречу друг другу пешеход и велосипедист. Через час пешеход оказался ровно посередине между пунктом А и велосипедистом. Ещё через 15 минут они встретились и продолжили свой путь. Сколько времени затратил пешеход на путь из А в В?

2.2. В треугольнике АВС на стороне АС отмечена такая точка D, что медиана AM треугольника ABD параллельна медиане DN треугольника ВСD. Найдите AD : DC.

2.3. В одном барабане было 8 шаров, из которых 3 красных, а в другом барабане – 7 шаров, из которых 4 красных. С равной вероятностью выбирают один из барабанов и вынимают из него один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет красным?

3.1. Докажите, что при а > 1 выполняется неравенство: .

3.2. В выпуклом четырехугольнике АВСD на стороны CD и АВ опущены перпендикуляры АЕ и DF соответственно. Найдите углы четырёхугольника, если АЕ ≥ BD, DF ≥ AC, AD = 2AB.

3.3. Семь целых чисел записаны по кругу. Сколько из них кратны трём, если известно, что сумма любых двух, стоящих подряд, не делится на 3 и сумма любых трёх, стоящих подряд, не делится на 3?

4.1. Решите систему уравнений: .

4.2. В остроугольном треугольнике АВС отмечены точки K и L на стороне АВ, М – на стороне ВС и N – на стороне АС так, что KLMN – прямоугольник. Докажите, что середина его диагонали КМ лежит на отрезке с концами в серединах стороны АВ и высоты СН.

4.3. Есть 30 гирь с массами 1 г, 2 г, ..., 30 г. Убрали 10 гирь, суммарная масса которых составляет треть от суммарной массы всех. Можно ли оставшиеся гири разбить на две части с равным количеством гирь и с равными массами, независимо от того, какие именно гири были убраны?

5.1. Определите знаки коэффициентов а и c квадратного трехчлена y = ax² + bx + c и схематически изобразите его график, если известно, что a + b + c > 0 и 0 < b < . Обоснуйте ответ.

5.2. Точки A’, B’ и C’ симметричны центру I вписанной окружности треугольника АВС относительно его сторон. Окружность, описанная около треугольника A’B’C’, проходит через вершину А. Найдите угол ВАС.

5.3. На собрание прибыло 201 человек из пяти стран. Среди каждых шести из них найдутся двое одинакового возраста. Докажите, что из некоторой страны на собрание приехало не менее пяти человек одного пола и одного возраста.

Результаты регаты: