XXV Турнир имени М. В. Ломоносова

1 октября 2000 года

Отчёт

МЦНМО
МОСКВА 2001


ISBN 5-900916-74-X

Конкурс по математике

Задачи

В скобках после номера задачи указаны классы, для которых рекомендуется задача. Решать задачи не своего класса разрешается.

1. (6-9) Может ли среднее арифметическое 35 целых чисел равняться 6,35 ?

2. (6-9) Петя купил "Конструктор", в котором было 100 палочек разной длины. В инструкции к "Конструктору" написано, что из любых трёх палочек "Конструктора" можно составить треугольник. Петя решил проверить это утверждение, составляя из палочек треугольники. Палочки лежат в конструкторе по возрастанию длин. Какое наименьшее число проверок (в самом плохом случае) надо сделать Пете, чтобы доказать или опровергнуть утверждение инструкции?

3. (10-11) Имеется 10 отрезков, причём известно, что длина каждого - целое число сантиметров. Два самых коротких отрезка - по сантиметру, самый длинный - 50 см. Докажите, что среди отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.

4. (6-11) Из точки M внутри четырёхугольника ABCD опущены перпендикуляры на стороны. Основания перпендикуляров лежат внутри сторон. Обозначим эти основания: то, которое лежит на стороне AB - через X, лежащее на стороне BC - через Y, лежащее на стороне CD - через Z, лежащее на стороне DA - через T. Известно, что AX>XB, BY>YC, CZ>ZD, DT>TA. Докажите, что вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

5. (6-11) Поверхность кубика Рубика 3*3*3 состоит из 54 клеток. Какое наибольшее количество клеток можно отметить так, чтобы отмеченные клетки не имели общих вершин?

Решения задач конкурса по математике

1. Ответ: такого быть не может.

Предположим, что такие числа существуют. Их сумма равна среднему арифметическому этих чисел, умноженному на их количество:

6,35*35 = 222,25.

Поскольку сумма целых чисел должна быть целым числом, получаем противоречие.

2. Ответ: одна проверка.

Пете достаточно проверить, можно ли составить треугольник из двух самых коротких палочек и одной самой длинной. Если треугольник не составляется, то утверждение инструкции опровергнуто. Если же треугольник составить можно, то сумма длин двух самых коротких палочек больше длины самой длинной. Но в этом случае сумма длин двух любых палочек набора длиннее любой другой. (Действительно, сумма длин двух любых не меньше суммы длин самых коротких, а длина любой палочки не больше длины самой длинной.) А это и означает, что из любых палочек можно составить треугольник, т. е. утверждение инструкции доказано.

3. Предположим противное, что ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник. Рассмотрим длины отрезков в сантиметрах по возрастанию: l1=1, l2=1, l3, l4, ..., l10=50. Так как из трёх самых коротких отрезков нельзя составить треугольник, то l3>l1+l2=1+1=2. Аналогично, l4>l2+l3>1+2=3. Далее,

l5>2+3=5
l6>3+5=8
l7>5+8=13
l8>8+13=21
l9>13+21=33
l10>21+33=55

Противоречие с условием l10=50 доказывает утверждение.

4. Из условия AX>XB следует AM>MB. Действительно, в двух треугольниках AMX и BMX с общим катетом гипотенуза длиннее у того, у которого длиннее второй катет. Аналогично получаем BM>MC, CM>MD, DM>MA. Это возможно только если во всех четырёх неравенствах выполняется равенство: MA=MB=MC=MD. Значит, M - центр описанной вокруг четырёхугольника ABCD окружности, что и доказывает требуемое.

5. Ответ: 14 клеток.

На рис. 1 показано, как отметить 7 клеток на трёх смежных гранях куба. На трёх "невидимых" гранях нужно отметить семь клеток, симметричных этим.

Докажем теперь, что больше 14 клеток требуемым образом отметить невозможно. Сделаем это двумя способами.

Первый способ. Посчитаем общее количество вершин клеток кубика Рубика. Имеются 8 вершин самого кубика, ещё по две вершины на каждом из 12 рёбер и ещё по 4 вершины на каждой из 6 граней. Итого:

8+12*2+6*4 = 56 вершин.

Каждая из этих вершин принадлежит по условию не более, чем одной отмеченной клетке. Если бы отмеченных клеток было больше 14, то вершин было бы больше, чем 14*4 = 56, поскольку каждая клетка имеет 4 вершины. Значит, отмеченных клеток не более 14.

Второй способ. Разрежем поверхность кубика Рубика на части. Три смежные грани разрежем на 7 частей, как показано на рис. 2. Три другие грани разрежем на такие же 7 частей. Легко видеть, что любые две клетки, попавшие в одну часть имеют общую вершину. Поэтому в каждой части может находиться не более одной отмеченной клетки. Значит, всего может быть отмечено не более 14 клеток.
 
 
Рис. 1 Рис. 2