Московский турнир математических боёв

21 ноября 1999 года

Правила

Результаты

КомандаКапитанСчётКомандаКапитанВариантЖюри
1.Школа 2,
11 класс		Егор Чистяков57:18Школа 1543,
11 класс		Дмитрий ЛяховецАСИ.Богданов, Н.Добринская, Е.Чистяков, Д.Русиков
2.Школа 2,
10 класс		Арсений Акопян46:2Школа 1525,
11 класс		Павел АболмасовА.Заславский, Б.Френкин, С.Шишкин
3.СУНЦ (шк. 18),
10-11 классы		Михаил Скопенков57:24Школы 1101 и 1543,
10-11 классы		Даниил МусатовГ.Челноков, А.Евсеев, Н.Кулакова
4.Школа 54,
10-11 классы		Владимир Кнотько74:40Школа 1134,
10-11 классы		Илья ИншаковБСА.Ковальджи, Р.Гаммель, В.Теннов
5.Школа 218,
10-11 классы		Кира Ильина28:17Школа 7,
10-11 классы		Андрей КолесниковВ.Русанов, А.Ерошин, А.Левицкий
6.Школа 2,
9 класс		Максим Гонгальский63:36Школа 57,
9 класс		Юрий ПритыкинАМО.Подлипский, Б.Трушин, А.Спиридонов, Е.Черепанов
7.Школа 5 г. Долгопрудный,
9 класс		Андрей Телятник37:25Школа 1525,
9 класс		Сергей ГуляковА.Хачатурян, В.Трушков, Д.Гуров, Е.Лившиц
8.Школа 2,
9 класс		Николай Дудченко87:38Школа 1525,
9 класс		Филипп Усов*А.Забирник, А.Зорин, В.Гаас, С.Чернышев
9.Школа 2,
10 класс		Максим Корнеев52:22Школа 218,
9 класс		Дмитрий ФилимоновБМЛ.Бирюков, В.Кисунько, В.Ларин, В.Илюшин
10.Школа 1543,
8 класс		Дмитрий Косов64:15Школа 1101,
8 класс		Павел ЕндураевС.Галкин, Д.Ершов, А.Семенов
*Примечание. По ошибке жюри команде школы 2 был выдан вариант АМ, а команде школы 1525 - вариант БМ. В соответствии с принятым жюри решением во время матбоя каждая команда рассказывала решения задач выданного ей варианта.

Условия задач

Вариант АС

1. Сколькими способами можно провести плоскость, отсекающую правильный шестиугольник от правильного додекаэдра?

2. Докажите, что среди 14 последовательных натуральных чисел найдется хотя бы одно, взаимно простое с остальными.

3. Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки четвертой окружности, касающейся внешним образом всех данных окружностей, проведены касательные к ним. Докажите, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.

4. Имеется несколько чисел, каждое из которых меньше 1999. Наименьшее общее кратное любых двух из них больше, чем 1999. Докажите, что сумма обратных величин этих чисел меньше 2.

5. Какое наименьшее число поворотов может сделать ладья, обойдя шахматную доску и побывав на каждом поле по одному разу?

6. В каждой клетке квадратной таблицы M*M стоит либо натуральное число, либо нуль. Если на пересечении строки и столбца стоит нуль, то сумма чисел этой строки и этого столбца не меньше M. Докажите, что сумма всех чисел в таблице не меньше M2/2.

7. В ящике лежат два ящика поменьше, в каждом из них еще по два ящика и т. д. В каждом из 2N маленьких ящиков лежит по монете, причем одни - вверх гербом, а остальные - вверх решкой. За один ход разрешается переворачивать один любой ящик вместе со всем, что в нем лежит. Докажите, что не больше чем за $N$ ходов можно расположить ящики так, что число монет, лежащих вверх гербом, будет равно числу монет, лежащих вверх решкой.

8. Город представляет собой плоскость, разбитую на одинаковые правильные треугольники. Стороны треугольников - шоссейные дороги, а вершины треугольников - перекрестки. Из двух разных точек, расположенных на одной и той же стороне некоторого треугольника, одновременно в одном направлении с одинаковыми скоростями выезжают две машины. Доехав до любого перекрестка, каждая машина или продолжает двигаться в том же направлении, или поворачивает направо или налево на 120o (т. е. по другой стороне того треугольника, по которому она двигалась перед этим). Смогут ли эти машины встретиться?

9. Решите в целых числах:

x2 + y2 + z2 + t2 = 2xyzt.

10. Ковбой Джимми поспорил с друзьями, что одним выстрелом пробьёт все четыре лопасти "вертилятора". (Вертилятор устроен так: на оси, вращающейся со скоростью 50 об/сек, расположены на равных расстояниях 4 полудиска, перпендикулярные оси и повёрнутые друг относительно друга на какие-то углы.) Джимми может стрелять в любой момент и обеспечить любую скорость пуль. Докажите, что Джимми выиграет пари.

Вариант БС

1. Решите в натуральных числах: 

             1                          1
1 - -------------------  =  ---------------------------
               1                           1
    2 + ---------------     x1 + ----------------------
                 1                            1
        3 + -----------          x2 + -----------------
                      1                          1
            4 + ... + -               x3 + ------------
                      n                              1
                                           1 + ... + --
                                                     xn

2. Прямоугольный треугольник ABC движется по плоскости так, что вершины A и B его острых углов скользят по сторонам данного прямого угла. Докажите, что множеством точек C является отрезок, и найдите его длину.

3. Существует ли многочлен от одной переменной, равный N при N=1, ...,1999 и принимающий иррациональные значения при остальных целых значениях аргумента?

4. В пространстве даны две скрещивающиеся перпендикулярные прямые. Найдите множество середин всех отрезков данной длины, концы которых лежат на этих прямых.

5. Докажите, что если число (2n-2)/n целое, то и число (22n-1 - 2)/(2n-1) тоже целое.
(показатель степени 2n-1, а не 2n-1, как это могут неправильно показывать некоторые браузеры).

6. Из картона вырезали два равных многоугольника, совместили их и проткнули в одной точке булавкой. При повороте одного из многоугольников вокруг булавки на 25o30' он снова совместился со вторым многоугольником. Каково наименьшее возможное число сторон у таких многоугольников?

7. На клетчатой бумаге выбраны три вершины клеток A, B, C, причем треугольник ABC - остроугольный. Докажите, что внутри него найдется еще хотя бы одна вершина клетки.

8. Решите систему уравнений:
(2x2)/(1+x2) = y
(2y2)/(1+y2) = z
(2z2)/(1+z2) = x

9. Можно ли кубик с ребром длины 1 завернуть в платок 3*3?

10. В N мензурок налиты N разных жидкостей. Имеется ещё одна пустая мензурка. На мензурках есть деления, позволяющие измерить объём налитой жидкости. Можно ли за конечное число переливаний сделать так, чтобы в N мензурках было по 1/N каждой жидкости, а одна мензурка была пустой?

Вариант АМ

1. Дано 17 натуральных чисел, идущих подряд. Верно ли, что среди них обязательно найдется хотя бы одно, взаимно простое с остальными?

2. Двенадцать полей расположены по окружности. На четырех соседних полях стоят четыре фишки: красная, желтая, зеленая и синяя. Одним ходом можно передвинуть любую фишку через четыре поля на пятое (в любую сторону). После нескольких ходов фишки стали опять на те же 4 поля. Какие при этом возможны перестановки (по сравнению с начальным расположением)?

3. Дан выпуклый пятиугольник ABCDE. Сторонами, противоположными вершинам A, B, C, D, E, назовем соответственно CD, DE, EA, AB, BC. Прямую, проходящую через вершину пятиугольника, назовем хорошей, если она пересекает противоположную сторону. Произвольная точка внутри пятиугольника соединена прямыми со всеми его вершинами. Докажите, что среди этих прямых - нечетное число хороших.

4. Даны два многочлена от одной переменной с целыми коэффициентами. Их произведение - многочлен с четными коэффициентами, причем не все они делятся на 4. Докажите, что в одном из данных многочленов все коэффициенты четные, а в другом - хотя бы один нечетный.

5. Докажите, что если у шестиугольника противоположные стороны параллельны, а диагонали, соединяющие противоположные вершины, равны, то вокруг него можно описать окружность.

6. Докажите, что у любого дерева можно оборвать 7/15 листьев, оставив не менее 8/15 его тени. (Число листьев кратно 15. Тенью от ствола и веток следует пренебречь.)

7. Какое максимальное число дамок можно расставить на черных полях шахматной доски 8х8 так, чтобы каждую дамку била хотя бы одна из остальных?

8. Решите в целых числах относительно переменных x, y, z:

КОРЕНЬ(x + КОРЕНЬ(x + ... + КОРЕНЬ(x))) = z

(y радикалов).

9. 25 шахматистов все играют в разную силу, и при встрече всегда побеждает сильнейший. Какое наименьшее число партий требуется, чтобы определить пару сильнейших игроков?

10. Узлы пространственной решётки раскрашены в 1999 цветов. Докажите, что найдётся прямоугольный параллелепипед, вершины которого окрашены в один и тот же цвет.

Вариант БМ

1. По стороне правильного треугольника катится окружность, радиус которой равен высоте этого треугольника. Докажите, что стороны треугольника все время высекают на окружности дугу в 60o.

2. В некоей стране имеется несколько городов и одна река. Некоторые города соединены дорогами, причем через реку ведет только одна дорога. Докажите, что найдется город, из которого выходит нечетное число дорог.

3. Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство:
|x| + |y| < 100 ?

4. Двенадцать полей расположены по окружности. На трех соседних полях стоят три фишки: красная, желтая и синяя. Одним ходом можно передвинуть любую фишку через три поля на четвертое (в любую сторону). После нескольких ходов фишки стали опять на те же 3 поля. Какие при этом возможны перестановки (по сравнению с начальным расположением)?

5. Имеется цепь из 60 звеньев, каждое массой 1 г. Какое количество звеньев надо расковать, чтобы из образовавшихся частей (с учетом раскованных звеньев) можно было составить все массы в 1 г, ..., 60 г?

6. Докажите, что если уравнения с целыми коэффициентами
x2+p1x+q1=0,     x2+p2x+q2=0 имеют общий нецелый корень,
то p1=p2, q1=q2.

7. Назовем "половиметром" прибор, отмечающий на отрезке его середину. С помощью "половиметра" и линейки разделите отрезок на 3 равные части.

8. Могут ли 5 человек сыграть несколько партий в домино (двое на двое) так, чтобы каждые двое были один раз партнерами и два раза - противниками? Сколько партий при этом может быть сыграно?

9. Имеется 7 жетонов с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Докажите, что два семизначных числа, которые можно составить из этих жетонов, не делятся одно на другое.

10. Докажите, что если 0 < x < 1, то (1-x)n + (1+x)n < 2n.