9 класс.

9.1. В выпуклом четырехугольнике АВСD Е – середина CD, F – середина АD, K – точка пересечения АС и ВЕ. Докажите, что площадь треугольника BKF в два раза меньше площади треугольника АВС.

9.2. Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С.

9.3. Дан квадрат ABCD. Найдите геометрическое место точек M таких, что Ð AMB = Ð CMD.

9.4. Треугольник ABC вписан в окружность. Через точки A и B проведены касательные к этой окружности, которые пересекаются в точке P. Точки X и Y – ортогональные проекции точки P на прямые AC и BC. Докажите, что прямая XY перпендикулярна медиане треугольника ABC, проведенной из вершины C.

9.5. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, Ð AMB = 60° . На сторонах AD и BC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ADK и BCL. Прямая KL пересекает описанную около ABCD окружность в точках P и Q. Докажите, что PK = LQ.

9.6. Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит .

10.1. Е и F – середины сторон ВС и AD выпуклого четырехугольника АВСD. Докажите, что отрезок EF делит диагонали АС и BD в одном и том же отношении.

10.2. Существует ли в пространстве замкнутая самопересекающаяся ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз, причем в его середине?

10.3. На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в нее четырехугольник, и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стерли четырехугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив ее центр). Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырехугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.

10.4. В треугольнике АВС: М – точка пересечения медиан, О – центр вписанной окружности. Докажите, что если прямая ОМ параллельна стороне ВС, то точка О равноудалена от сторон АВ и АС.

10.5. Трапеция АВСD с основаниями AB и CD вписана в окружность. Докажите, что четырехугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые AC, BC, AD и BD, является вписанным.

10.6. В тетраэдре DABC: Ð ACB = Ð ADB, (СD)^ (АВС). В треугольнике АВС дана высота h, проведенная к стороне АВ, и расстояние d от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите длину CD.