XXVI ВСЕРОССИЙСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

Заключительный этап

2000/2001 учебный год

Тверь, 19-26 апреля 2001 г.

Результаты олимпиады и список команды РФ на 42-й Международной олимпиады школьников по математике (Вашингтон, июль 2001 года)

Задачи пятого (финального) этапа XXVI Российской олимпиады школьников по математике. Задания подготовлены Методическим Советом Российской математической олимпиады школьников.

Условия задач

Первый день (21.04.2001)

9 класс

9.1. Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечетного числа, во вторую - числа, для которых ближайшими являются квадраты четных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?
(Н. Агаханов)

9.2. Два многочлена P(x)=x⁴+ax³+bx²+cx+d и Q(x)=x²+px+q принимают отрицательные значения на некотором интервале I длины более 2, а вне I - неотрицательны. Докажите, что найдется такая точка x₀, что P(x₀)<Q(x₀).
(Н. Агаханов)

9.3. Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка K таким образом, что середина отрезка AD равноудалена от точек K и C, а середина отрезка CD равноудалена от точек K и A. Точка N - середина отрезка BK. Докажите, что углы NAK и NCK равны.
(С. Берлов)

9.4. Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)
(Ю. Лифшиц)

10 класс

10.1. Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечетного числа, во вторую - числа, для которых ближайшими являются квадраты четных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?
(Н. Агаханов)

10.2. На прямой выбрано 100 множеств A₁, A₂, ..., A₁₀₀, каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств A₁, A₂, ..., A₁₀₀ является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков. (Точка также считается отрезком.)
(Р. Карасёв)

10.3. Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N. Касательная к внутренней окружности, проведенная в точке K, пересекает внешнюю окружность в точках A и B. Пусть M - середина дуги AB, не содержащей точку N. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK, не зависит от выбора точки K на внутренней окружности.
(Т. Емельянова)

10.4. В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами, причем между любыми двумя городами существует единственный несамопересекающийся путь по дорогам. Известно, что в стране ровно 100 городов, из которых выходит по одной дороге. Докажите, что можно построить 50 новых дорог так, что после этого даже при закрытии любой дороги можно будет из любого города попасть в любой другой.
(Д. Карпов)

11 класс

11.1. Пусть 2S - суммарный вес некоторого набора гирек. Назовем натуральное число k средним, если в наборе можно выбрать k гирек, суммарный вес которых равен S. Какое наибольшее количество средних чисел может иметь набор из 100 гирек?
(Д. Кузнецов)

11.2. Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N. Касательная к внутренней окружности, проведенная в точке K, пересекает внешнюю окружность в точках A и B. Пусть M - середина дуги AB, не содержащей точку N. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK, не зависит от выбора точки K на внутренней окружности.
(Т. Емельянова)

11.3. На плоскости даны два таких конечных набора выпуклых многоугольников P₁ и P₂, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку, и в каждом из двух наборов P₁ и P₂ есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.
(В. Дольников)

11.4. Участникам тестовой олимпиады было предложено n вопросов. Жюри определяет сложность каждого из вопросов: целое количество баллов, получаемых участниками за правильный ответ на вопрос. За неправильный ответ начисляется 0 баллов, все набранные участниками баллы суммируются. Когда все участники сдали листки со своими ответами, оказалось, что жюри так может определять сложность вопросов, чтобы места между участниками распределялись любым наперед заданным образом. При каком наибольшем числе участников это могло быть?
(С. Токарев)

Второй день (22.04.2001)

9 класс

9.5. Юра выложил в ряд 2001 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между любыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между любыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя трехкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько у Юры могло быть трехкопеечных монет?
(Ю. Лифшиц)

9.6. В компании из 2n+1 человек для любых n человек найдется отличный от них человек, знакомый с каждым из них. Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех.
(С. Берлов)

9.7. На большей стороне AC треугольника ABC взята точка N так, что серединные перпендикуляры к отрезкам AN и NC пересекают стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Докажите, что центр O описанной около треугольника ABC окружности лежит на окружности, описанной около треугольника KBM.
(С. Берлов)

9.8. Найдите все нечетные натуральные n (n>1) такие, что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число a+b-1 также является делителем n.
(Д. Джукич)

10 класс

10.5. Многочлен P(x)=x³+ax²+bx+c имеет три различных действительных корня, а многочлен P(Q(x)), где Q(x)=x²+x+2001 действительных корней не имеет. Докажите, что P(2001)>1/64.
(Д. Терёшин)

10.6. В магическом квадрате n*n, составленном из чисел 1, 2, ..., n², центры любых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)
(И. Богданов)

10.7. На высотах (но не на продолжениях высот) остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁, C₁, отличные от точки пересечения высот H, такие, что сумма площадей треугольников ABC₁, BCA₁, CAB₁ равна площади треугольника ABC. Докажите, что окружность, описанная около треугольника A₁B₁C₁, проходит через H.
(С. Берлов)

10.8. Найдите все натуральные числа n такие, что для любых двух его взаимно простых делителей a и b число a+b-1 также является делителем n.
(Д. Джукич)

11 класс

11.5. Приведенные квадратные трехчлены f(x) и g(x) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах. Докажите, что найдутся такие положительные числа a и b, что для любого действительного x будет выполняться неравенство af(x) + bg(x) > 0.
(С. Берлов, О. Подлипский)

11.6. a и b - различные натуральные числа такие, что ab(a+b) делится на a²+ab+b². Докажите, что |a-b| > (ab)^1/3 .
(С. Берлов)

11.7. В стране 2001 город, некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит хотя бы одна дорога и нет города, соединенного дорогами со всеми остальными. Назовем множество городов D доминирующим, если любой не входящий в D город соединен дорогой с одним из городов множества D. Известно, что в любом доминирующем множестве хотя бы k городов. Докажите, что страну можно разбить на 2001-k республик так, что никакие два города из одной республики не будут соединены дорогой.
(В. Дольников)

11.8. Сфера с центром в плоскости основания ABC тетраэдра SABC проходит через вершины A, B и C и вторично пересекает ребра SA, SB и SC в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках A₁, B₁ и C₁, пересекаются в точке O. Докажите, что O - центр сферы, описанной около тетраэдра SA₁B₁C₁.
(Л. Емельянов)