Заключительный этап
2001/2002 учебный год
Майкоп, 21-29 апреля 2002 г.
Задачи пятого (заключительного) этапа XXVIII Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задания подготовлены Методическим Советом Всероссийской математической олимпиады школьников.
9.1. Можно ли в клетках таблицы 2002*2002 расставить натуральные
числа от 1 до 20022 так, чтобы для любой клетки
этой таблицы из строки или из столбца, содержащих эту клетку,
можно было бы выбрать тройку чисел, одно из которых
равно произведению двух других?
(Н. Агаханов)
9.2. На одной стороне угла с вершиной O взята точка A, а на
другой - точки B и C так, что B лежит между O и C. Проведена
окружность с центром O1, вписанная в треугольник
OAB, и окружность с центром O2, касающаяся стороны AC
и продолжений сторон OA, OC треугольника OAC. Докажите,
что если O1A=O2A, то треугольник
ABC - равнобедренный.
(Л. Емельянов)
9.3. На плоскости отмечено 6 красных, 6 синих и 6 зелёных точек,
причём никакие 3 из отмеченных точек не лежат на
одной прямой. Докажите, что сумма площадей треугольников
с вершинами одного цвета составляет не более четверти
суммы площадей всех треугольников с отмеченными вершинами.
(Ю. Лифшиц)
9.4. Гидры состоят из голов и шей (любая шея соединяет ровно
дву головы). Одним ударом меча можно снести все шеи, выходящие
из какой-то головы A гидры. Но при этом из головы
A мгновенно вырастает по одной шее во все головы, с которыми
A не была соединена. Геракл побеждает гидру, если
ему удастся разрубить её на две не связанные шеями части.
Найдите наименьшее N, при котором Геракл сможет победить
любую стошеюю гидру, нанеся не более, чем N ударов.
(Ю. Лифшиц)
10.1.Многочлены P, Q и R с действительными коэффициентами,
среди которых есть многочлен второй степени и многочлен
третьей степени, удовлетворяют равенству
P2+Q2=R2.
Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени -
действительные.
(А. Голованов)
10.2. Дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность w.
Касательная к w, проведённая через A, пересекает продолжение
стороны BC за точку B в точке K, а касательная
к w, проведённая через B, пересекает продолжение стороны
AD за точку A в точке M. Известно, что AM=AD и
BK=BC. Докажите, что ABCD - трапеция.
(С. Берлов)
10.3. Докажите, что для любого натурального числа n>10000
найдётся такое натуральное число m, представимое в виде
суммы двух квадратов, что 0<m-n<3n1/4.
(А. Голованов)
10.4. В некотором государстве было 2002 города, соединённых дорогами
так, что если запретить проезд через любой из городов,
то из любого из оставшихся городов можно добраться
до любого другого. Каждый год король выбирает некоторый
несамопересекающийся циклический маршрут, и приказывает
построить новый город, соединить его дорогами
со всеми городами выбранного маршрута, а все дороги этого
маршрута закрыть за ненадобностью. Через несколько
лет в стране не осталось ни одного несамопересекающегося
циклического маршрута, проходящего по её городам. Докажите,
что в этот момент количество городов, из которых
выходит ровно одна дорога, не меньше 2002.
(А. Пастор)
11.1.Многочлены P, Q и R с действительными коэффициентами,
среди которых есть многочлен второй степени и многочлен
третьей степени, удовлетворяют равенству
P2+Q2=R2.
Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени -
действительные.
(А. Голованов)
11.2. На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трёх из
них существует декартова система координат (то есть перпендикулярные
оси и общий масштаб), в которой эти точки
имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова
система координат, в которой все отмеченные точки
имеют целые координаты.
(С. Берлов)
11.3. Докажите, что для всех xC(0; p/2) при n>m, где n, m -
натуральные, справедливо неравенство
2|sinnx-cosnx|<3|sinmx-cosmx|;
(В. Сендеров)
11.4.
В городе несколько площадей. Некоторые пары площадей
соединены улицами с односторонним движением так, что
с каждой площади можно выехать ровно по двум улицам.
Докажите, что город можно разделить на 1014 районов так,
чтобы улицами соединялись только площади из разных районов,
и для любых двух районов все соединяющие их улицы
были направлены одинаково (либо все из первого района во
второй, либо наоборот).
(А. Пастор)
9.5. На шахматной доске стоят 8 ладей, не бьющих друг друга.
Докажите, что среди попарных расстояний между ними
найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями -
это расстояние между центрами клеток, в которых они
стоят.)
(Д. Кузнецов)
9.6. Имеется одна красная и k (k>1) синих ячеек, а также колода
из 2n карт, занумерованных числами от 1 до 2n. Первоначально
вся колода лежит в произвольном порядке в красной
ячейке. Из любой ячейки можно взять верхнюю карту
и переложить её либо в пустую ячейку, либо поверх карты
с номером, большим на единицу. При каком наибольшем n
можно такими операциями переложить всю колоду в одну
из синих ячеек?
(А. Белов)
9.7. Пусть O - центр описанной окружности треугольника
ABC. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно
таким образом, что 2/MON=/MON. Докажите,
что периметр треугольника MBN не меньше стороны
AC.
(С. Берлов)
9.8. Из промежутка (22n, 23n) выбрано 22n-1+1 нечётное число.
Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, квадрат
каждого из которых не делится на другое.
(С. Берлов)
10.5. Сумма положительных чисел a, b, c равна 3. Докажите, что
a1/2+b1/2+c1/2>ab+bc+ac.
(С. Злобин)
10.6. Имеется одна красная и k (k>1) синих ячеек, а также колода
из 2n карт, занумерованных числами от 1 до 2n. Первоначально
вся колода лежит в произвольном порядке в красной
ячейке. Из любой ячейки можно взять верхнюю карту
и переложить её либо в пустую ячейку, либо поверх карты
с номером, большим на единицу. При каком наибольшем n
можно такими операциями переложить всю колоду в одну
из синих ячеек?
(А. Белов)
10.7. Пусть A' - точка касания вневписанной окружности треугольника
ABC со стороной BC. Прямая a проходит через
точку A' и параллельна биссектрисе внутреннего угла A.
Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что a, b и c
пересекаются в одной точке.
(Л. Емельянов)
10.8. На плоскости взято конечное число красных и синих прямых,
среди которых нет параллельных, так, что через любую
точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая
другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через
одну точку.
(В. Дольников, И. Богданов)
11.5. Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде
суммы 2002 натуральных слагаемых с одинаковой суммой
цифр и в виде суммы 2003 натуральных слагаемых с одинаковой
суммой цифр.
(С. Токарев)
11.6. Пусть ABCD - вписанный четырёхугольник. O - точка пересечения
диагоналей AC и BD. Пусть окружности, описанные
около треугольников ABO и COD, пересекаются в точке K. Точка
L такова, что треугольник BLC соответственно подобен треугольнику AKD. Докажите,
что если четырёхугольник BLCK выпуклый, то он является описанным.
(С. Берлов)
11.7. На плоскости взято конечное число красных и синих прямых,
среди которых нет параллельных, так, что через любую
точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая
другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через
одну точку.
(В. Дольников, И. Богданов)
11.8. Докажите, что существует бесконечно много натуральных
n, для которых числитель несократимой дроби, равной
1+(1/2)+...+(1/n), не является степенью простого числа с натуральным
показателем.
(Ф. Петров)