Министерство образования Российской Федерации
Город Орёл, 14-20 апреля 2003 года.
Задания подготовлены Методическим Советом Всероссийской математической олимпиады школьников. В скобках после каждой задачи указана фамилия ее автора.
Тексты задач воспроизводятся по печатным материалам, выданным участникам олимпиады.
В каждой параллели задачи с номерами 1, 2, 3 и 4 были предложены участникам 15 апреля 2003 года, задачи с номерам 5, 6, 7 и 8 - 16 апреля 2003 года. В каждый из дней на выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.
9.1. Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа,
таково, что для любых двух различных элементов a, b из M
число a2+b*21/2 рационально.
Докажите, что для любого a из M число a*21/2
рационально.
(Н. Агаханов)
9.2. Окружности S1 и S2
с центрами O1 и O2 соответственно
пересекаются в точках A и B. Касательные к
S1 и S2 в точке A пересекают
отрезки BO2 и BO1 в точках
K и L соответственно.
Докажите, что KL||O1O2.
(С. Берлов)
9.3. На прямой 2k-1 белый и 2k-1 черный отрезок.
Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с k черными,
а любой черный - хотя бы с k белыми.
Докажите, что найдутся черный отрезок, пересекающийся со всеми белыми,
и белый отрезок, пересекающийся со всеми черными.
(В. Дольников)
9.4. Последовательность {an}
строится следующим образом:
a1=p - простое число, имеющее ровно 300
ненулевых цифр, an+1 - период десятичной дроби
1/an, умноженный на 2.
Найдите число a2003
(И. Богданов, А. Храбров)
9.5. В стране N городов. Между любыми двумя из них проложена
либо автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать
страну, побывав в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город,
с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может
выбрать город, с которого он начнет путешествие, и маршрут так,
что ему придется поменять вид транспорта не более одного раза.
(О. Подлипский)
9.6. Пусть a, b, c - положительные числа, сумма которых
равна 1. Докажите неравенство:
(1/(1-a))+(1/(1-b))+(1/(1-c))>(2/(1+a))+(2/(1+b))+(2/(1+c))
(С. Берлов)
9.7. Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа
расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых
натуральных m,n>100 сумма чисел в любом прямоугольнике
m*n клеток делилась на m+n?
(С. Берлов)
9.8. На сторонах AP и PD остроугольного треугольника
APD выбраны соответственно точки B и C. Диагонали
четырехугольника ABCD пересекаются в точке Q. Точки
H1 и H2 являются ортоцентрами
треугольников APD и BPC, соответственно. Докажите, что если
прямая H1H2 проходит через
точку X пересечения описанных окружностей треугольника
ABQ и CDQ, то она проходит и через точку Y пересечения
описанных окружностей треугольников BQC и AQD.
(X=/=Q, Y=/=Q)
(С. Берлов, Л. Емельянов)
10.1. Числовое множество M, содержащее 2003 различных
положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов
a, b, c из M число a2+bc
рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n,
что для любого a из M, число an1/2
рационально.
(Н. Агаханов)
10.2. Диагонали вписанного четырехугольника ABCD
пересекаются в точке O. Пусть S1 и
S2 - соответственно окружности, описанные около
треугольников ABO и CDO, O и K - точки
пересечения окружностей S1 и S2.
Прямые, проходящие через точку O параллельно прямым AB
и CD, вторично пересекают S1 и S2
в точках L и M соответственно. На отрезках OL
и OM выбраны соответственно точки P и Q так,
что OP:PL=MQ:QO. Докажите, что точки
O, K, P, Q лежат на одной окружности.
(С. Берлов)
10.3. Дано дерево с n вершинами, n>2
(т.е. граф с n вершинами и n-1 ребром, в котором из любой
вершины в любую можно пройти по ребрам, и нет циклического маршрута,
проходящего по ребрам). В его вершинах расставлены числа
x1, x2, ..., xn,
а на каждом ребре записано произведение чисел, стоящих в концах этого ребра.
Обозначим через S сумму чисел на всех ребрах. Докажите, что
(n-1)1/2(x12+x22+...+xn2)>2S.
(В. Дольников)
10.4. На плоскости дано конечное множество точек X
и правильный треугольник T. Известно, что любое подмножество
X' множества X, состоящее из не более 9 точек,
можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника T.
Докажите, что все множество X можно покрыть двумя параллельными
переносами треугольника T.
(В. Дольников, Р. Карасев)
10.5. В стране N городов. Между любыми двумя из них проложена
либо автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать страну,
побывав в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город, с которого
он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбрать город,
с которого он начнёт путешествие, и маршрут так, что ему придётся поменять
вид транспорта не более одного раза.
(О. Подлипский)
10.6. Последовательность натуральных чисел
an строится следующим образом:
a0 - некоторое натуральное число,
an+1=an/5, если
an делится на 5,
an+1=[51/2an],
если an не делится на 5 (через [x]
обозначена целая часть от x, т. е. наибольшее целое число, не
превосходящее x). Докажите, что начиная с некоторого члена
последовательность an возрастает.
(А. Храбров)
10.7. В треугольнике ABC через O, I
обозначены центры соответственно описанно и вписанной окружностей.
Вневписанная окружность wa
касается продолжений сторон AB и AC соответственно
в точках K и M, а стороны BC - в точке N.
Известно, что середина P отрезка KM лежит на описанной
окружности треугольника ABC. Докажите, что точки O,
N и I лежат на одной прямой.
(П. Кожевников)
10.8. Найдите наибольшее натуральное число N такое,
что для произвольной расстановки различных натуральных
чисел от 1 до 400 в клетках квадратной таблица 20*20
найдутся 2 числа, стоящих в одной строке или одном столбце,
разность которых будет не меньше N.
(Д. Храмцов)
11.1. Пусть a,
b, g,
t - такие положительные числа,
что при всех x
sin ax +
sin bx =
sin gx +
sin tx
Докажите, что a=g
или a=t.
(Н. Агаханов, А. Голованов, В. Сендеров)
11.2. Диагонали вписанного четырехугольника ABCD
пересекаются в точке O. Пусть S1 и
S2 - соответственно окружности, описанные около
треугольников ABO и CDO, O и K - точки
пересечения окружностей S1 и S2.
Прямые, проходящие через точку O параллельно прямым AB
и CD, вторично пересекают S1 и S2
в точках L и M соответственно. На отрезках OL
и OM выбраны соответственно точки P и Q так,
что OP:PL=MQ:QO. Докажите, что точки
O, K, P, Q лежат на одной окружности.
(С. Берлов)
11.3. Даны многочлены f(x) и g(x)
с целыми неотрицательными коэффициентами, m - наибольший коэффициент
многочлена f. Известно, что для некоторых натуральных чисел
a<b имеют место равенства
f(a)=g(a) и f(b)=g(b).
Докажите, что если b>m, то многочлены f и g
совпадают.
(А. Храбров)
11.4. Изначально у Ани и Бори было по длинной полосе бумаги.
На одной из них была написана буква А, а на другой - Б.
Каждую минуту один из них (не обязательно по очереди) приписывает
справа или слева к слову на своей бумажке слово с бумажки другого.
Докажите, что через сутки слово с Аниной полоски можно будет разрезать
на 2 части и переставить их местами так, что получится тоже слово
задом наперед.
(Е. Черепанов)
11.5. Длины сторон треугольника являются корнями кубического
уравнения с рациональными коэффициентами. Докажите, что длины высот
треугольника являются корнями уравнения шестой степени
с рациональными коэффициентами.
(Н. Агаханов)
11.6. Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа
расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных
m,n>0 сумма чисел в любом прямоугольнике m*n
клеток делилась на m+n?
(С. Берлов)
11.7. В стране 100 городов, некоторые пары городов соединены
дорогами. Для любых четырех городов существуют хотя бы две дороги между ними.
Известно, что не существует маршрута, проходящего по каждому городу ровно
один раз. Докажите, что можно выбрать два города таким образом,
чтобы любой из оставшихся городов был соединен дорогой хотя бы
с одним из двух выбранных городов.
(И. Иванов)
11.8. Вписанная в тетраэдр ABCD сфера касается его граней
ABC, ABD, ACD и BCD в точках
D1, C1, B1
и A1 соответственно.
Рассмотрим плоскость, равноудаленную от точки A и плоскости
B1C1D1
и три плоскости, аналогичные ей. Докажите, что тетраэдр,
образованный этими четырьмя плоскостями имеет тот же центр описанной
сферы, что и тетраэдр ABCD.
(Ф. Бахарев).
Документ опубликован на сервере www.mccme.ru 24 апреля 2003 года.