14 Математический праздник 16.02.2003

Условия и решения задач

6 класс | 7 класс

Работа рассчитана на 2 часа (120 минут).

6 класс

Задача 1. [4 балла]
Один мальчик 16 февраля 2003 года сказал: "Разность между числами прожитых мною месяцев и прожитых (полных) лет сегодня впервые стала равна 111". Когда он родился?
Ответ. 16 января 1993 года.
Решение. Пусть мальчик прожил x лет и еще y месяцев. Тогда он прожил всего 12x+y месяцев и поэтому
12x+y-x=111,
то есть
11x+y=11*10+1.
Поскольку y<12, то y=1 и x=10.

Задача 2. [4 балла]
Найдите наименьшее четырехзначное число СЕЕМ, для которого существует решение ребуса
МЫ + РОЖЬ = СЕЕМ.
(Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным - разные.
Ответ. 2003
Решение. Поскольку С>Р, С>1. Так как мы ищем наименьшее число, попробуем взять Р=1, С=2 и Е=0. Тогда М>3. Случай СЕЕМ=2003 возможен: 35+1968=2003 или 38+1965=2003.
Кроме указанных решений, ребус, как легко проверить при помощи компьютерной программы, имеет еще 38 решений:

31+4972=5003, 32+4971=5003,
31+5972=6003, 32+5971=6003, 81+3927=4008, 87+3921=4008, 61+2945=3006,
65+2941=3006, 81+4927=5008, 14+2987=3001, 17+2984=3001, 87+4921=5008,
15+2986=3001, 16+2985=3001, 81+5927=6008, 87+5921=6008, 41+7963=8004,
71+4936=5007, 43+7961=8004, 76+4931=5007, 15+3986=4001, 16+3985=4001,
61+7945=8006, 65+7941=8006, 46+1958=2004, 48+1956=2004, 14+5987=6001,
17+5984=6001, 57+1948=2005, 58+1947=2005, 83+6925=7008, 85+6923=7008,
46+2958=3004, 48+2956=3004, 24+5978=6002, 57+2948=3005, 28+5974=6002, 
58+2947=3005.

Задача 3. [4 балла]
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: "Сколько рыцарей среди твоих спутников?". Первый ответил: "Ни одного". Второй сказал: "Один". Что сказал третий?
Ответ. Один.
Решение. Если первый - рыцарь, то в силу его слов второй и третий - лжецы, что невозможно из-за высказывания второго островитянина. Значит, первый - лжец. Если второй - лжец, то в силу его слов третий тоже лжец, но тогда первый сказал правду, а он должен был соврать. Значит, второй - рыцарь. В силу его слов третий тоже рыцарь. Третий честно ответит: "Один".

Задача 4. [5 баллов]
Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых - целое число метров. Верно ли, что периметр исходного прямоугольника - тоже целое число метров?
Ответ. Нет.
Решение. Например, квадрат со стороной 2/3 можно разрезать средней линией на два прямоугольника, периметры которых равны 2. Есть и другие примеры.

Задача 5. [7 баллов]
В распоряжении юного паркетчика имеются 10 одинаковых плиток, каждая из которых состоит из 4 квадратов и имеет форму буквы Г (все плитки ориентированы одинаково). Может ли он составить из них прямоугольник размером 5*8? (Плитки можно поворачивать, но нельзя переворачивать. Например, на рисунке изображено неверное решение: заштрихованная плитка неправильно ориентирована.)

Ответ. Да, можно:

Задача 6. [8 баллов]
На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 12, во второй - 15. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3?
Ответ. 6.
Решение. Поскольку 1+2+3+4+5+6=21 и 21-12=9, а 21-15=6, то в первый раз сумма чисел нижней и верхней граней кубика равнялас 9, а во второй - 6. Бросим кубик третий раз так, чтобы он упал на одну из тех двух граней, которые оба раза были боковыми. Поскольку 21-9-6=6, то сумма чисел, которые при третьем броске оказались на верхней и нижней гранях, равна 6. Очевидно, цифра 3 не могла ни во второй, ни в третий раз оказаться на верхней или нижней грани: иначе напротив нее стояла бы цифра 6-3=3, а тройка только одна. Значит, тройка была на верхней или нижней грани при первом броске. Поэтому напротив тройки стоит цифра 9-3=6.
Примечание. Удовлетворяющий условию задачи кубик существует: 1+5=2+4=6 и 3+6=9.
Другое решение. Если явно выписать все возможные сочетания чисел, которые могли бы оказаться на боковых гранях при бросании такого кубика (а таких сочетаний всего 15), то можно заметить, что и 12, и 15 в сумме набирается ровно двумя способами. (12=1+2+3+6=1+2+4+5 15=2+3+4+6=1+3+5+6)
Легко заметить, что если бы 12 "выпало", как 1-2-3-6, то при втором броске 15 получить было бы невозможно, так как на двух боковых гранях было бы 4 и 5, а сочетания с суммой 15, содержащего оба эти числа нет.
Значит, 12 "выпало" как 1-2-4-5. Следовательно, напротив тройки написана шестерка.
Стоит еще показать, что такой кубик вообще существует. Например, годится кубик на котором на противоположных гранях написаны числа 1-5, 2-4 и 3-6 соответственно.
Авторское решение. Заметим, что сумма всех чисел, написанных на кубике, равна 21.
Сумма чисел на верхней и нижней грани равна в 1-м и 2-м случаях 9 и 6 соответственно. Из 1-го броска следует, что либо 3 напротив 6, либо 4 напротив 5. Предположим, что 4 напротив 5. Но из 2-го броска следует, что либо 1 напротив 5, либо 2 напротив 4. Противоречие, следовательно, 3 напротив 6.
Стоит еще показать, что такой кубик вообще существует. Например, годится кубик на котором на противоположных гранях написаны числа 1-5, 2-4 и 3-6 соответственно.

7 класс

Задача 1. [4 балла] Расставьте скобки и знаки арифметических действий так, чтобы получилось верное равенство:
1/2   1/6   1/6009 = 2003
Ответ. (1/2 - 1/6) : 1/6009 = 2003.

Задача 2. [6 баллов] Квадратную салфетку сложили пополам, полученный прямоугольник сложили пополам еще раз. Получившийся квадратик разрезали ножницами (по прямой). Могла ли салфетка распасться
а) на 2 части?
б) на 3 части?
в) на 4 части?
г) на 5 частей?
Если да - нарисуйте такой разрез, если нет - напишите слово "нельзя".

Ответ. Во всех пунктах можно.
Решение. На рисунке изображены все возможные варианты разрезания салфетки.
а)
б)
в)
г)

Задача 3. [5 баллов] Чтобы открыть сейф, нужно ввести код - число, состоящее из семи цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4. Придумайте код, открывающий сейф.
Ответ. 2222232.
Решение. Так как двоек больше, чем троек, двоек может быть 4, 5, 6 или 7. В первом случае сумма цифр - 17, во втором - 16, в третьем - 15, а в последнем - 14. По признаку делимости на 3 число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Значит, годится только третий вариант.
Итак, в коде 6 двоек и 1 тройка. По признаку делимости на 4 число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4. Значит, это 32.

Задача 4. [8 баллов] Прямоугольник разрезали шестью вертикальными и шестью горизонтальными разрезами на 49 прямоугольников (см. рисунок). Оказалось, что периметр каждого из получившихся прямоугольников - целое число метров. Обязательно ли периметр исходного прямоугольника - целое число метров?
Ответ. Да, обязательно.
Решение. Рассмотрим прямоугольники, заштрихованные на рисунке ("диагональные"). Горизонтальная сторона исходного прямоугольника складывается из их горизонтальных сторон. То же - для вертикальной стороны.
Поэтому периметр исходного прямоугольника равен сумме периметров заштрихованных прямоугольников. Периметр каждого из этих прямоугольников - целое число метров. Их сумма - тоже целое число метров.

Задача 5. [8 баллов] В честь праздника 1% солдат в полку получили новое обмундирование. Солдаты расставлены в виде прямоугольника так, что солдаты в новом обмундировании оказались не менее чем в 30% колонн и не менее чем в 40% шеренг. Какое наименьшее число солдат могло быть в полку?
Ответ. 1200.
Решение. Предположим, что солдаты поставлены в m колонн и n шеренг. Тогда в полку mn солдат и mn/100 солдат получили новое обмундирование. Согласно условию, не менее чем в 40n/100 шеренг есть хотя бы по одному солдату в новом обмундировании, значит,
mn/100>40n/100}.
Отсюда ясно, что m>40. Аналогично, так как не менее чем в 30m/100 колонн есть солдаты в новом обмундировании,
mn/100>30m/100.
Поэтому n>30. Значит, в полку не менее, чем 40*30=1200 солдат.
Покажем, что 1200 солдат можно построить таким образом. Построим их в виде прямоугольника 30*40. Поставим по диагонали 12 солдат в новом обмундировании (см. рисунок). Ясно, что солдаты в новом обмундировании стоят ровно в 30% колонн и в 40% шеренг (30% от 40 - это 12, 40% от 30 - тоже 12).

Задача 6. [9 баллов] Куб размером 3*3*3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причем запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?
Ответ. Нельзя.
Решение. Предположим, что можно. В кубе 8 угловых кубиков (на рисунке они покрашены в черный цвет) и 6 "центральных" кубиков (они расположены в центрах граней и заштрихованы на рисунке). Нетрудно видеть, что любой ход из углового кубика ведет в кубик в середине ребра, а следующий ход - в центральный кубик. Таким образом, чтобы попасть из одного углового кубика в другой, придется пройти хотя бы через один центральный. Иными словами, между каждыми двумя соседними (в порядке обхода) угловыми кубиками должен встретиться хотя бы один центральный. Значит, центральных кубиков не меньше семи, а их всего лишь шесть!



Rambler's Top100