10-й Математический Праздник.
21 февраля 1999 года

Условия и решения задач

Условия задач 6 класса Условия задач 7 класса

6 класс

1. На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками отметили еще по точке. Такое "уплотнение" повторили еще дважды (всего 3 раза). В результате на прямой оказалось отмечено 113 точек. Сколько точек было отмечено первоначально?

Решение. Если (до уплотнения) было отмечено n точек, то после уплотнения будет отмечено 2n-1 точек (из которых n старых и n-1 - новая). Следовательно, число точек до уплотнения можно найти, прибавив к числу точек после уплотнения единицу и поделив пополам. Таким образом, до последнего уплотнения было (113+1)/2=57 точек, до второго - (57+1)/2=29 точек и в самом начале - (29+1)/2=15 точек.

Ответ: изначально было отмечено 15 точек.

2. Укажите пять целых положительных чисел, сумма которых равна 20, а произведение - 420.

Решение. Для начала разложим 420 на множители:
420 = 6 x 7 x 10 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7.
Теперь уже несложно сгруппировать эти множители в пять групп так, чтобы в сумме получилось 20:
7 x 5 x 3 x 4 x 1 = 420; 7+5+3+4+1 = 20.

3. Квадрат 4 x 4 разделен на 16 клеток. Раскрасьте эти клетки в черный и белый цвета так, чтобы у каждой черной клетки было три белых соседа, а у каждой белой клетки был ровно один черный сосед. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)

Решение. Заметим для начала, что белых клеток должно быть втрое больше чем черных, так что белых будет 12, а черных - 4. После этого легко нарисовать требуемую картинку.

4. Из Москвы вылетел вертолет, который пролетел 300 км на юг, потом 300 км на запад, 300 км на север и 300 км на восток, после чего приземлился. Оказался ли он южнее Москвы, севернее ее или на той же широте? Оказался ли он восточнее Москвы, западнее Москвы или на той же долготе?

Решение. Вертолет летит на юг по московскому меридиану, затем по параллели, потом снова по меридиану на север, а затем по более северной параллели. Так как все меридианы одинаковы, широта его не изменится (сколько градусов он пролетел на юг, столько же он пролетит и на север). А параллели разные: чем севернее, тем короче, так что на северной параллели те же 300 км составят большее число градусов. Значит, вертолет окажется восточнее Москвы на той же широте.

5. Нарисуйте на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в углах клеток, две медианы которого перпендикулярны. (Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.)

Решение. Удобно сначала нарисовать перпендикулярные медианы треугольника, а потом уже вершины. Вот один из возможных вариантов:

6. На плоскости нарисован черный квадрат. Имеется семь квадратных плиток того же размера. Нужно положить их на плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть черного квадрата (хотя бы одну точку внутри него). Как это сделать?

Решение. Задачу решить легче, если сначала понять, как поплотнее уложить плитки, а потом уже смотреть, где разместить черный квадрат.

7 класс

1. Числитель и знаменатель дроби - целые положительные числа, дающие в сумме 101. Известно, что дробь не превосходит 1/3. Укажите наибольшее возможное значение такой дроби.

Решение. Сумма числителя и знаменателя равна 101. Значит, чем больше числитель дроби, тем меньше ее знаменатель - и тем больше сама дробь. Видно, что 25/76 еще меньше 1/3, а 26/75 - уже больше.

Ответ: 25/76.

2. Разрежьте фигуру (по границам клеток) на три равные (одинаковые по форме и величине) части.

3. См. задачу 4 для 6 класса.

4. Два пешехода вышли на рассвете. Каждый шел с постоянной скоростью. Один шел из A в B, другой - из B в A. Они встретились в полдень и, не прекращая движения, пришли: один в B в 4 часа вечера, а другой - в A в 9 часов вечера. В котором часу в тот день был рассвет?

Решение. Пусть от рассвета до полудня прошло x часов. Первый пешеход шел x часов до полудня и 4 после, второй - x до полудня и 9 после. Заметим, что отношение времен равно отношению длин путей до и после точки встречи, так что x:4 = 9:x Из этой пропорции находим, что x=6.

Ответ: рассвет был в 6 часов утра.

5. См. задачу 5 для 6 класса.

6. Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и девятью горизонтальными прямыми (параллельными его сторонам). Среди этих прямоугольников оказалось ровно 9 квадратов. Докажите, что два из этих квадратов имеют одинаковый размер.

Решение. Если два квадрата из девяти находятся в одной горизонтальной строке, то они имеют одинаковую высоту, а будучи квадратами - и одинаковую ширину, так что в этом случае все доказано. Точно так же можно рассуждать, если два квадрата окажутся в одном вертикальном столбце. Осталось рассмотреть третий случай, когда все квадраты находятся в разных строках и в разных столбцах. Тогда они попадают в девять столбцов из десяти и в девять строк из десяти, и остается одна свободная строка и один свободный столбец. В пересечении свободной строки и свободного столбца будет еще один, десятый, квадрат. (В самом деле, ширину свободного столбца можно найти, вычтя суммарную ширину девяти квадратов из ширины большого квадрата. Точно так же высота свободной строки равна разности высоты большого квадрата и суммы высот девяти квадратов, а высота любого квадрата равна его ширине.) Но по условию десятого квадрата нет, так что третий случай невозможен.

Вернуться на исходную страницу

Послать письмо в Оргкомитет

matprazdnik@mccme.ru

Дата последнего изменения: 23 февраля 1999 года