Задачи 10-ого Математического Праздника (21 февраля 1999 года)
Решения задач 10-ого Математического Праздника (21 февраля 1999 года)
Сборник задач в postscript-формате
1997 год, 6 класс 1997 год, 7 класс
1998 год, 6 класс 1998 год, 7 класс
1. (4 балла)
На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей
разделена поверхность глобуса?
Меридиан - это дуга, соединяющая Северный полюс с Южным.
Параллель - это окружность, параллельная экватору
(экватор тоже является параллелью).
(М.Семенова)
2. (4 балла) Три ежика не могли поделить поровну три кусочка сыра
массами 5г, 8г и 11г. Лиса стала им помогать.
Ей разрешили от любых двух кусочков
отрезать по 1г сыра (обрезки лиса съедает).
Сможет ли лиса оставить ежикам равные
кусочки сыра?
(А.Ковальджи)
3. (8 баллов)
Расположите в кружочках (вершинах правильного десятиугольника)
числа от 1 до 10 так, чтобы для любых двух соседних чисел их сумма
была равна сумме двух чисел,
им противоположных (симметричных относительно центра
окружности).
(фольклор)
4. (8 баллов) Разрежьте фигуру,
изображенную на рисунке, на две части, из которых
можно сложить треугольник.
(фольклор)
5.
На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B, C и D.
Расстояние между A и B - 50 км, между A и C - 40 км, между
C и D - 25 км, между D и A - 35 км (все расстояния измеряются
вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону).
а) (4 балла) Приведите пример расположения бензоколонок (с указанием
расстояний между ними), удовлетворяющий условию задачи.
б) (8 баллов) Найдите расстояние между B и C (укажите все возможности).
(И.Ященко)
6. (16 баллов)
Расставьте на шахматной доске 32-х коней так, чтобы каждый из них
бил ровно 2-х других.
1. (4 балла)
На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей
разделена поверхность глобуса?
Меридиан - это дуга, соединяющая Северный полюс с Южным.
Параллель - это окружность, параллельная экватору
(экватор тоже является параллелью).
2. (6 баллов)
В банановой республике прошли выборы в парламент.
Все голосовавшие за партию "Мандарин" любят мандарины.
Среди голосовавших за другие партии 90% не любят мандарины. Сколько процентов
голосов набрала партия "Мандарин" на выборах, если ровно 46%
участвовавших в голосовании любят мандарины?
3.
На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B,
C и D.
Расстояние между A и B - 50 км, между A и C -
40 км, между
C и D - 25 км, между D и A - 35 км
(все расстояния измеряются
вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону).
4. (12 баллов)
На острове Контрастов живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду,
лжецы всегда лгут. Некоторые жители заявили, что на острове четное
число рыцарей, а остальные заявили, что на острове нечетное число лжецов.
Может ли число жителей острова быть нечетным?
5. (18 баллов)
На Луне имеют хождение монеты достоинством в 1, 15 и 50
фертингов. Незнайка отдал за покупку несколько монет и
получил сдачу на одну монету больше. Какую наименьшую
сумму могла стоить покупка?
6. (18 баллов)
Из квадрата 5x5 вырезали центральную клетку.
Разрежьте получившуюся фигуру на две части, в которые можно завернуть куб
2x2x2.
1. (2 балла) Витя выложил
из карточек пример на сложение
2. (3 балла) В папирусе Ринда (Древний Египет)
среди прочих сведений содержатся разложения дробей в сумму
дробей с числителем 1, например,
3. В корзине лежат 30 грибов - рыжиков и груздей.
Известно, что среди любых
12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов
- хотя бы один груздь.
Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?
5. Придумать раскраску граней кубика, чтобы в трех
различных положениях он выглядел,
как показано на рисунке. (Укажите, как раскрасить невидимые
грани, или нарисуйте развертку.)
6. Семья ночью подошла к мосту.
Папа может перейти его за 1 минуту, мама - за 2, малыш -
за 5, а бабушка - за 10 минут. У них есть один фонарик.
Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за
17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их
скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить
издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя.)
1. Каких прямоугольников с целыми
сторонами больше: с периметром 1996 или с периметром 1998?
(Прямоугольники a x b и b x a считаются одинаковыми.)
2. В Мексике экологи добились принятия закона,
по которому каждый автомобиль хотя бы один день
в неделю не должен ездить (владелец сообщает полиции
номер автомобиля и "выходной" день недели
этого автомобиля). В некоторой семье все взрослые
желают ездить ежедневно (каждый - по своим делам!).
Сколько автомобилей должно быть в семье, если взрослых
в ней а) (2 балла) 5 человек? б) (3 балла) 8 человек?
4 (5 баллов). В корзине лежат 30 грибов.
Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы
один рыжик, а среди любых 20 грибов - хотя бы один
груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине? 5 (6 баллов). В тесте к каждому вопросу указаны 5 вариантов ответа.
Отличник отвечает на все вопросы правильно.
Когда двоечнику удается списать, он отвечает правильно, а в
противном случае - наугад (то есть среди несписанных вопросов
он правильно отвечает на 1/5 часть). За год двоечник правильно
ответил на половину вопросов. Какую долю ответов ему удалось
списать? 6.
Если смотреть на аквариум
спереди, то рыбка проплыла, как показано на левом рисунке.
А если справа - то как на правом рисунке. Нарисовать вид сверху. Вернуться на исходную страницу
Послать письмо в Оргкомитет Дата последнего изменения: 2 декабря 1998 года
(М.Евдокимов)
7 класс
(М. Семенова)
(Р. Федоров)
а) (4 балла) Приведите пример расположения бензоколонок (с указанием
расстояний между ними), удовлетворяющий условию задачи.
б) (8 баллов) Найдите расстояние между B и C
(укажите все возможности).
(И. Ященко)
(В.Произволов)
(А.Шаповалов)
(С.Токарев)
8-й математический праздник. 16 февраля 1997 года
6 класс
314159
+ 291828
------
585787
и затем поменял местами две карточки. Как видите,
равенство нарушилось. Какие карточки
переставил Витя?
(В.Замков)
2 1 1 1 1
-- = -- + --- + --- + -
73 60 219 292 x
Один из знаменателей здесь заменен буквой x. Найти этот
знаменатель.
(А.Спивак)
(А.Галочкин)
4. Разрезать
изображенную на рисунке доску на 4 одинаковые части,
чтобы каждая из них содержала 3 заштрихованные клетки.
(фольклор)
(фольклор)
(Из электронной конференции rec.puzzles)
7 класс
(С.Дориченко)
(И.Ященко)
3 (5 баллов). Четырехугольник с
длинами сторон 1, 1, 1 и 2 имеет две параллельные стороны и
разбит на четыре одинаковые фигуры (см. рисунок). В результате
верхняя сторона разделилась на четыре отрезка. Найти отношение
длины большего отрезка к меньшему.
(А.Ковальджи)
(А.Галочкин)
(А.Спивак, И.Ященко)
(А.Шень)