11-й Математический праздник

13 февраля 2000 г.

Условия и решения задач.

6 класс | 7 класс

6 класс

Задача 1. В записи *1*2*4*8*16*32*64=27 вместо знаков "*" поставьте знаки "+" или "-" так, чтобы равенство cтало верным. [5 баллов]

Решение. Знаки можно расставить следующим образом:
+1-2+4+8-16-32+64=27.

Найти такое расположение знаков легко, если расставлять знаки справа налево.

Ответ: +1-2+4+8-16-32+64=27.

Замечание.

Попробуйте сами доказать, что

а) любое число, получающееся таким способом, нечётно;

б) из этой записи можно получить любое нечётное число между числами -128 и 128, причём единственным способом.

Задача 2. В квадрате 7*7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по 3 закрашенных клетки. [4 балла]

Решение.

На рисунках приведены примеры такой закраски.

На левом рисунке закрашивали клетки, как на шахматной доске, кроме четырёх клеток на диагонали.

На правом - клетки закрашивали "лесенкой", начиная с левого нижнего угла.

Замечание. Способ, приводящий к правому рисунку, помогает при решении многих подобных задач.

Задача 3. Шифр кодового замка является двузначным числом. Буратино забыл код, но помнит, что сумма цифр этого числа, сложенная с их произведением, равна самому числу. Напишите все возможные варианты кода, чтобы Буратино смог быстрее открыть замок. [6 баллов]

Решение. Пусть первая цифра кода x, а вторая y. Тогда само число записывается как 10x+y, а условие задачи можно записать уравнением (x+y)+x*y=10x+y. Следовательно, x*y=9x.

Так как код - двузначное число, то x не равно 0, а значит, y=9. При этом x можно взять любым, кроме 0. Проверьте!

Ответ: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99.

Задача 4. Зачеркните все 13 точек (как на рисунке) пятью отрезками, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды. [8 баллов]

Решение. Пример приведен на рисунке:

Задача 5. В одной из вершин куба ABCDEFGH сидит заяц, но охотникам он не виден. Три охотника стреляют залпом, при этом они могут "поразить" любые три вершины куба. Если они не попадают в зайца, то до следующего залпа заяц перебегает в одну из трёх соседних (по ребру) вершин куба. Укажите, как стрелять охотникам, чтобы обязательно попасть в зайца за четыре залпа. [10 баллов]

(В решении достаточно написать четыре тройки вершин, в которые стреляют охотники.)

Решение. Покрасим вершины A, C, F и H в чёрный цвет, а остальные вершины - в белый. Заметим, что любые две соседние вершины будут покрашены в разные цвета. Значит, после каждого залпа заяц перебегает в вершину другого цвета.

Сделаем первый залп по вершинам C, F и H.

Если заяц находился в чёрной вершине, то либо охотники сразу попали в него, либо заяц находился в вершине A. В последнем случае после залпа заяц перебежит в одну из трех соседних вершин, и залп (BDE) обязательно достигнет цели.

Если заяц находился в белой вершине, то после двух выстрелов он снова окажется в белой вершине. Рассуждая аналогично предыдущему случаю, убеждаемся, что залпы (DEG), а потом (ACF) обязательно поразят зайца.

Ответ: охотники обязательно попадут в зайца, сделав следующие залпы: (CFH), (BDE), (DEG), (ACF). (Порядок залпов важен!)

7 класс

Задача 1. В квадрате 7*7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по 3 закрашенных клетки. [3 балла]

Смотрите решение задачи N 2 в варианте 6 класса.

Задача 2. Карлсон написал дробь 10/97. Малыш может:

1) прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно,

2) умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.

Сможет ли Малыш с помощью этих действий получить дробь,
а) равную 1/2? [2 балла]
б) равную 1? [4 балла]

Решение.
а) Да, достаточно прибавить к числителю и знаменателю по 77. (К этому числу приводит уравнение 2(10+x)=97+x.)
б) Нет. Действительно, дробь равна единице, если ее числитель и знаменатель равны. А Малыш никак не сможет из неравных чисел сделать равные.

Задача 3. Дан прямоугольный треугольник. Приложите к нему какой-нибудь треугольник (эти треугольники должны иметь общую сторону, но не должны перекрываться даже частично) так, чтобы получился треугольник с двумя равными сторонами.


Укажите (нарисуйте!) несколько различных решений.
Каждое новое решение - [1 балл].

Решение.
На рисунке цифрами отмечены вершины семи приложенных треугольников.


Найдите сами, какие стороны получаются равными.

Задача 4. Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел? [8 баллов]

Ответ: Нет, не может.

Решение. Докажем методом от противного.
Предположим, что найдутся два натуральных числа k и n такие, что n(n+1)=2k(2k+2). Отметим числа 2k и 2k+2 на числовой оси и рассмотрим два случая: n<2k и n>2k.
Если n<2k, то n+1<2k+2, поэтому n(n+1)<2k(2k+2). Противоречие.
Если n>2k, то n+1>2k+2, поэтому n(n+1)>2k(2k+2). Противоречие.

Задача 5. В вершинах куба ABCDEFGH расставлены натуральные числа так, что числа в соседних (по ребру) вершинах отличаются не более чем на единицу. Докажите, что обязательно найдутся две диаметрально противоположные вершины, числа в которых отличаются не более чем на единицу. [10 баллов]


(Пары диаметрально противоположных вершин куба: A и G, B и H, C и E, D и F.)

Решение. Обозначим числа, стоящие в вершинах куба, соответствующими маленькими латинскими буквами: a, b, c, d, e, f, g и h.
Рассмотрим наименьшее из этих чисел. Без ограничения общности мы можем считать, что это число a (оно находится в вершине A). Тогда числа в соседних с A вершинах (это вершины B, D и E) могут принимать только значения a или a+1 (так как a-1<a). Значит, какие-нибудь два из чисел b, d и e равны.
Пусть равные числа стоят в вершинах B и E (остальные случаи рассматриваются аналогично). В этом случае ответом будут диаметрально противоположные вершины E и C: e=b, а числа c и b отличаются не более, чем на 1, поэтому числа e и c отличаются не более, чем на 1.

Авторы задач:
6 класс: А. Ю. Митягин (1-3), В. В. Клепцын (3), А. В. Спивак (5).
7 класс: А. Ю. Митягин (1), В. В. Клепцын (2), А. Шень (3), В. В. Произволов (4), Г. А. Гальперин (5)

Составление варианта: И. В. Ященко, А. К. Ковальджи, А. Д. Блинков, А. Шень, В. Д. Арнольд, В. В. Вакулюк, А. В. Спивак, А. Ю. Митягин.