14 Математический праздник 16.02.2003

Условия задач

6 класс | 7 класс

Работа рассчитана на 2 часа (120 минут).

6 класс

Задача 1. [4 балла]
Один мальчик 16 февраля 2003 года сказал: "Разность между числами прожитых мною месяцев и прожитых (полных) лет сегодня впервые стала равна 111". Когда он родился?

Задача 2. [4 балла]
Найдите наименьшее четырехзначное число СЕЕМ, для которого существует решение ребуса
МЫ + РОЖЬ = СЕЕМ.
(Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным - разные.

Задача 3. [4 балла]
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: "Сколько рыцарей среди твоих спутников?". Первый ответил: "Ни одного". Второй сказал: "Один". Что сказал третий?

Задача 4. [5 баллов]
Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых - целое число метров. Верно ли, что периметр исходного прямоугольника - тоже целое число метров?

Задача 5. [7 баллов]
В распоряжении юного паркетчика имеются 10 одинаковых плиток, каждая из которых состоит из 4 квадратов и имеет форму буквы Г (все плитки ориентированы одинаково). Может ли он составить из них прямоугольник размером 5*8? (Плитки можно поворачивать, но нельзя переворачивать. Например, на рисунке изображено неверное решение: заштрихованная плитка неправильно ориентирована.)

Задача 6. [8 баллов]
На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 12, во второй - 15. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3?

7 класс

Задача 1. [4 балла] Расставьте скобки и знаки арифметических действий так, чтобы получилось верное равенство:
1/2   1/6   1/6009 = 2003

Задача 2. [6 баллов] Квадратную салфетку сложили пополам, полученный прямоугольник сложили пополам еще раз. Получившийся квадратик разрезали ножницами (по прямой). Могла ли салфетка распасться
а) на 2 части?
б) на 3 части?
в) на 4 части?
г) на 5 частей?
Если да - нарисуйте такой разрез, если нет - напишите слово "нельзя".

Задача 3. [5 баллов] Чтобы открыть сейф, нужно ввести код - число, состоящее из семи цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4. Придумайте код, открывающий сейф.

Задача 4. [8 баллов] Прямоугольник разрезали шестью вертикальными и шестью горизонтальными разрезами на 49 прямоугольников (см. рисунок). Оказалось, что периметр каждого из получившихся прямоугольников - целое число метров. Обязательно ли периметр исходного прямоугольника - целое число метров?

Задача 5. [8 баллов] В честь праздника 1% солдат в полку получили новое обмундирование. Солдаты расставлены в виде прямоугольника так, что солдаты в новом обмундировании оказались не менее чем в 30% колонн и не менее чем в 40% шеренг. Какое наименьшее число солдат могло быть в полку?

Задача 6. [9 баллов] Куб размером 3*3*3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причем запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?