1. (3 балла) На прошлогоднем Турнире Архимеда для пятиклассников каждая школа могла выставить одну или две команды. Всего участвовало 22 команды из 15 школ. Сколько школ выступило двумя командами? Ответ объясните.
2. (3 балла) Начертите прямоугольник размером 4*6 клеток. Покажите,
как его "замостить" трехклеточными уголками (см. рис.) так, чтобы никакие два
из них не образовывали прямоугольник. ("Замостить" - покрыть без наложений и
свободных клеток.)
3. (5 баллов) Найдите частное от деления двух целых чисел, если оно в семь раз меньше одного из них, и в семь раз больше другого.
4. (5 баллов) Хулиган Вася вырвал три листа из дневника. Некоторые из них (может быть и все) он разорвал на три части или на пять частей. Некоторые из получившихся кусков бумаги он опять разорвал на три или пять частей, и так далее. Мог ли Вася, действуя таким образом, получить ровно 2000 кусочков бумаги? Ответ объясните.
5. (6 баллов) Бился Иван-Царевич со Змеем Горынычем, трехглавым и треххвостым. Одним ударом он мог срубить либо одну голову, либо один хвост, либо две головы, либо два хвоста. Но, если срубить один хвост, то вырастут два; если срубить два хвоста - вырастет голова; если срубить голову, то вырастает новая голова, а если срубить две головы, то не вырастет ничего. Объясните, как должен действовать Иван-Царевич, чтобы срубить Змею все головы и все хвосты как можно быстрее.
6. (8 баллов) Ваня, Коля и Петя играли в настольный теннис "на высадку", то есть, в каждой партии двое играют, а третий - ждет, и в следующей партии заменяет проигравшего (ничьих - не бывает). В итоге оказалось, что Ваня сыграл 12 партий, а Коля - 25 партий. Сколько партий Коля отдыхал? Ответ объясните.
1. Подсчитайте общее количество квадратов на рис. 1.
Рис. 1.
2. В записях трех примеров использованы все цифры, кроме нуля.
Тройку, шестерку и девятку оставили, а остальные цифры заменили буквами,
причем каждой букве соответствует только одна цифра. Восстановите эти примеры:
AB9 : 3 = FG, C3D : 6 = FG, 6EF : 9 = FG.
3. Заполните "магический квадрат" (см. рис. 2) числами от 5 до 20, не повторяя их ни разу, так чтобы суммы чисел в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду, а также на двух главных диагоналях были равны 50.
| 15 | 5 | ||
| 17 | 11 | ||
| 14 | 9 |
4. Сумма чисел, записанных вдоль каждой стороны большого квадрата равна 36 (см. рис. 3а). Переставьте числа, записанные в кружках, не трогая чисел, записанных в маленьких квадратах, так, чтобы их сумма вдоль каждой стороны большого квадрата стала 37 (см. рис. 3б).
 |  |
| Рис. 3а | Рис. 3б |
5. Переставьте числа на пятиконечной звезде (см. рис. 4) так, чтобы
суммы чисел на каждом из пяти отрезков стали равными 24. Числа,
расположенные в квадратиках трогать нельзя.
Рис. 4.
6. Дано верное равенство:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.
Замените только один из знаков сложения на знак умножения так,
чтобы, не добавляя никаких скобок и не убирая других знаков, значение
суммы стало равным 100.
7. Переставьте девять цифр, записанных на рис. 5, так, чтобы трехзначное число, стоящее в первом горизонтальном ряду было в два раза меньше трехзначного числа, стоящего во втором ряду и в три раза меньше трехзначного числа, стоящего в третьем ряду.
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
8. Великолепная семерка: Между четырьмя семерками (см. рис. 6) вставьте знаки действий и скобки так, чтобы в каждой строчке получились верные равенства (в некоторых случаях знаки можно не вставлять, например, можно оставить число 77 или 777 и т. д.).
| 7 7 7 7 = 0 |
| 7 7 7 7 = 1 |
| 7 7 7 7 = 2 |
| 7 7 7 7 = 3 |
| 7 7 7 7 = 4 |
| 7 7 7 7 = 5 |
| 7 7 7 7 = 6 |
| 7 7 7 7 = 7 |
| 7 7 7 7 = 8 |
| 7 7 7 7 = 9 |
| 7 7 7 7 = 10 |
8. Из 18 спичек составьте фигуру, изображенную на рис. 7. Сколько всего получилось треугольников?
а) Уберите четыре спички так, чтобы общее количество треугольников стало равным пяти.
б) Восстановите ранее составленную фигуру и уберите три спички так, чтобы
общее количество треугольников стало равным семи.
Рис. 7.
9. В следующих словах переставлены некоторые буквы. Восстановите первоначальные слова.
1) ЯПАРЯМ; 2) СОЛИЧ; 3) МАМУС; 4) ЗАРСТОНЬ; 5) СДЕТЬЯ; 6) СЫТЧАЯ;
7) ЕЛЕДЛИТЬ; 8) КЕБИЧУН; 9) ИКЛЕЙНА; 10) РОКЕДТИР.
10. Из семи фигур, изображенных на рис. 8 составьте фигуры 1 - 10.
Рис. 8.
