Математическая регата 7 классов 11.03.2000

Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).

1.1. Решите уравнение:
1-(2-(3-(...1998-(1999-(2000-x))...))) = 1000.

1.2. Даны два равнобедренных треугольника, в каждом из которых есть сторона, длина которой 6 см и угол, градусная мера которого 100^o. Можно ли утверждать, что эти треугольники равны? Обоснуйте ответ.

1.3. Представьте число 2001 в виде дроби, числителем которой является девятая степень какого-то целого числа, а знаменателем - десятая степень какого-то целого числа.

Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

2.1. Вместо знаков $ вставьте такие числа, чтобы равенство
(x²+$*x+2)*(x+3) = (x+$)*(x²+$*x+6)
стало тождеством.

2.2. Даны десять точек, расположенные в виде "равностороннего треугольника" (см. рис.). Зачеркните некоторые из данных точек так, чтобы нельзя было построить ни одного равностороннего треугольника с вершинами в оставшихся точках. Постарайтесь зачеркнуть наименьшее количество точек.

   *
  * *
 * * *
* * * *

2.3. Найдите значение выражения:
(8+222*444*888+444*888*1776)/(2*4*8+444*888*1777+888*1776*3552)

Третий тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).

3.1. Докажите, что если число b является средним арифметическим чисел а и с, причем а>c , то выражение ab+bc-ac-b² принимает только положительные значения.

3.2. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота СH. Найдите длину АС, если MH = 10 см.

3.3. "Во время игры в шахматы у меня осталось фигур в три раза меньше, чем у соперника, и в шесть раз меньше, чем свободных клеток на доске, но все равно я выиграл эту партию!" - сказал Винтик Шпунтику. "А у меня, в одной из партий, фигур осталось в пять раз меньше, чем у соперника, и в десять раз меньше, чем свободных клеток на доске, и все-таки я сумел победить!" - в свою очередь рассказал Шпунтик. Чьему рассказу можно верить и почему?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов).

4.1. В автобусе имеются одноместные и двухместные сидения. Кондуктор заметил, что когда в автобусе сидело 13 человек, то 9 сидений были полностью свободными, а когда сидело 10 человек, то свободными были 6 сидений. Сколько сидений в автобусе?

4.2. Какое наименьшее количество плоских разрезов необходимо сделать, чтобы разрезать куб на 64 маленьких кубика? После каждого разреза разрешается перекладывать образовавшиеся части в любое место.

4.3. Джон и Мэри живут в небоскребе, на каждом этаже которого 10 квартир. Номер этажа Джона равен номеру квартиры Мэри, а сумма номеров их квартир равна 239. В какой квартире живет Джон?

Результаты