Математическая регата 11 классов 15.12.2001

Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).

1.1. Найдите площадь фигуры, которая задана на координатной плоскости системой неравенств:

{	x<(1-y2)1/2
	y<(1-x2)1/2

1.2. Можно ли расположить в пространстве 9 шаров так, чтобы каждый из них касался ровно пяти других?

1.3. Представьте число 30 в виде произведения как можно меньшего количества множителей, сумма которых равна нулю.

Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

2.1. Докажите, что для любой функции f(x) существуют функции g(x) и h(x) такие, что
f(x) = g(x)sinx + h(x)cosx.

2.2. Стороны пятиугольника, взятые последовательно, равны 4 см, 6 см, 8 см, 7 см и 9 см. Можно ли в этот пятиугольник вписать окружность?

2.3. Найдите все простые числа x, y и z, для которых выполняется равенство: z = 1 + x^y.

Третий тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

3.1. Решите уравнение: x³ + x² + x = -1/3.

3.2. В треугольнике АВС проведены медианы AL и BM, пересекающиеся в точке К. Вершина С лежит на окружности, проходящей через точки К, L и M. Найдите длину медианы CN, если длина стороны АВ равна a.

3.3. Приведите пример многогранника, имеющего столько же вершин, ребер и граней, сколько у куба, но не имеющего ни одной четырехугольной грани.

Четвертый тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).

4.1. Известно, что многочлен P(x) принимает целые значения при всех целых значениях x. Может ли один из его коэффициентов быть равен 1/2001?

4.2. Дан треугольник АВС. Объясните, как построить точку О внутри треугольника такую, что площади треугольников АОС, ВОС и АОВ относятся, как 7:11:13.

4.3. Можно ли разбить числа 1, 2, 3, ..., 99, 100 на три группы так, чтобы сумма чисел в одной группе делилась на 102, сумма чисел в другой группе делилась на 203, а сумма чисел в третьей группе делилась на 304?

Пятый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов).

5.1. Решите систему уравнений:

{	x3+xy4=y9+y7
	x2+y3=2

5.2. В правильной треугольной пирамиде PАВС на боковых ребрах выбраны точки: К - середина РА, M - середина РВ, DCРС, РD:DС = 2:1. Через точки К, M и D проведена плоскость, которая делит полную поверхность пирамиды на части, отношение площадей которых равно составному натуральному числу. Какому?

5.3. Существуют ли 2001 различных натуральных чисел, каждое из которых является кубом некоторого натурального числа и которые различаются только порядком цифр?

Результаты