Экспериментальная математическая регата 8 классов 20.10.2001

Задания | Результаты | План мероприятий Турнира Архимеда на 2001/2002 уч. г.

Задания


Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов)

1.1. Найдите a6 + 3a2b2 + b6, если а2 + b2 = 1.

1.2. Две стороны четырехугольника равны 1 и 4. Одна из диагоналей делит его на два равнобедренных треугольника и имеет длину 2. Найдите периметр четырехугольника.

1.3. После игры в футбол После игры в футбол (два тайма по 45 минут) ребята делились впечатлениями.
Петя: "Я забил на один гол больше, чем все остальные, вместе взятые".
Миша: "Во втором тайме было забито вдвое больше голов, чем в первом".
Олег: "Из всех мячей, забитых в первом тайме, я забил половину".
Верно ли, что каждый из них сказал правду?


Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

2.1. Сравните числа: 99! и 5099. (Напомним, что n! = 1*2*3*...*(n-1)*n .)

2.2. В выпуклом четырехугольнике ABCD равны стороны AB и CD и равны углы A и С. Верно ли, что этот четырехугольник - параллелограмм?

2.3. Варианты второго тура математической регаты готовились так: на каждый лист печаталось несколько одинаковых условий и затем каждый лист разрезался. Получилось так, что количество подготовленных условий совпало с количеством команд. Сколько команд могло участвовать в регате, если сделано р2 разрезов, где р - простое число?


Третий тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов)

3.1. Найдите все натуральные значения n, для которых число n5 + n + 1 является простым.

3.2. В треугольнике АВС: /A = 15o, /B = 30o. Через точку С проведен перпендикуляр к АС, который пересекает сторону АВ в точке М. Найдите ВС , если АМ = 5.

3.3. Из квадрата со стороной 5 клеток вырезали одну клетку, после чего его разрезали на 8 одинаковых прямоугольников размером 3*1. Какую клетку изначально вырезали из квадрата?


Четвертый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов)

4.1. Найдите наибольшее возможное значение выражения:
20x-4y+6z-2x2-4y2-3z2-2 . При каких При каких значениях переменных оно достигается?

4.2. Даны две перпендикулярные прямые и точка С, не принадлежащая ни одной из них. Рассмотрим все прямоугольники СDМЕ такие, что вершина D лежит на одной из данных прямых, а вершина Е - на другой. Найдите геометрическое место точек М.

4.3. Существует ли такое натуральное число, которое при умножении его на 2 станет квадратом натурального числа, при умножении его на 3 - кубом какого-то натурального числа, после его умножения на 5 - пятой степенью какого-нибудь натурального числа, а после его умножения на 7 - седьмой степенью какого-либо натурального числа?


Результаты

команда
школы
тур 1тур 2тур 3тур 4Итоговый
балл
123S123S123S123S
1514В666187071400881091050
606126017804129091849
1543А61613777211023900946
1543Д60612131508715000032
1543Ж6061270291089001131
1514Б5661751281023000028
5А (Долгопрудный)6161371191023002227
1543Г0268730100426002226
1543И160770181089020226
1101А0661211131023020220
600600000022900917
6041010230022020217
МММФ_3006650270022002217
1543В600601780022000016
1543Е001111131023009916
Фрязино016701230066000016
6601210120011000015
218А006610010022060615
218Б100101231629000013
1523600630140022000012
1101В600610230022000011
МММФ_2000010230088000011
218Ж112400220022101210
1018Б600610011023000010
1543Б014503030022000010
218Г60060000102300009
1018А60061001002200009
1101Б60061001002200009
60060000002200008
18 (Сергиев Посад)00005005102300008
747А00550000102300008
1101Г60060000002200008
1514А60060000002200008
5Б (Долгопрудныйй)00331001102300007
218Д00000325002200007
218Е01231001002210017
13 (Химки)00221001002200005
109Б10011001102300005
152А00001023002200005
17410011102002200005
Столичный10011001002200004
00001001002200003
218В00000101002200003
747Б00001001002200003
780А00001001002200003
780Б00001001002200003
МММФ_100000011002200003
109А00000000002200002
152Б00000000002200002