Математическая регата 9 классов 24.11.2001

Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов)

1.1. Известно, что число a является корнем уравнения x³+7x-9=0.
Найдите значение выражения (2a³+3a)(11a-18).

1.2. Могут ли длины сторон a, b и c прямоугольного треугольника удовлетворять соотношению a²+b²=5c² ?

1.3. Сколько десятизначных чисел можно составить так, чтобы любые две соседние цифры отличались на единицу, если в их десятичной записи можно использовать только цифры 1, 2 и 3 ?

Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

2.1. При каких натуральных значениях n выражение n²+(n-1)²+n²(n-1)² является полным квадратом?

2.2. Один из углов трапеции равен 60^o. Найдите отношение её оснований, если известно, что в эту трапецию можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность.

2.3. Сравните числа A и B, не используя калькулятор:
A = 1*2*3*...*19*20 и
B = 1+2+3+...+999999+1000000.

Третий тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

3.1. Решите уравнение
15(x+1)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x- 5|.

3.2. В треугольнике АВС: угол А > угол В > угол С. К какой из сторон треугольника ближе всего расположен центр окружности, описанной около этого треугольника?

3.3. За одну операцию разрешается разрезать многоугольник на две части по любому отрезку, перевернуть одну из частей и склеить эти части по тому же отрезку. Можно ли за несколько таких операций из прямоугольника 5*20 получить квадрат 10*10 ?

Четвертый тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов)

4.1. Решите систему уравнений:

{	x+y+z	=	3,
	x2+y2+z2	=	3.

4.2. A и B - фиксированные точки на плоскости. Найдите геометрическое место точек M этой плоскости, для которых угол ABM - наибольший из углов треугольника ABM.

4.3. На столе поставлены в один ряд N стаканов, перевёрнутые вверх дном. Разрешается одновременно переворачивать два стакана, стоящие через один. При каких значениях N можно добиться того, чтобы все стаканы стояли дном вниз?

Пятый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов)

5.1. При каких значения параметра a разность корней квадратного
x²-6x+12+a²-4a=0
принимает наибольшее значение?

5.2. Вершины параллелограмма ABCD являются центрами непересекающихся окружностей, радиусы которых равны соответственно 5, 6, 8 и 7 (см. рис.). К окружностям с центрами в противолежащимих вершинах проведены общие внешние касательные, которые образуют новый четырёхугольник.

Докажите, что в него можно вписать окружность и найдите её радиус.

5.3. Найдите среднее арифметическое всех пятизначных чисел-палиндромов (чисел, которые справа налево и слева направо читаются одинаково, например, 12421).

Результаты