Математическая регата 9 классов 19.11.2002

Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов)

1.1. К простому числу прибавили 400 и получили квадрат натурального числа. Каким могло быть исходное простое число?

1.2. СA и СB - касательные к окружности в точках A и B соответственно, AD - ее диаметр. Прямые DB и AС пересекаются в точке E. Докажите, что С - середина отрезка AE.

1.3. Можно ли число 2002 представить в виде суммы двух натуральных слагаемых, произведение которых делится на 2002?

Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

2.1. Докажите, что при всех x>0, y>0 выполняется неравенство

(x/(x⁴+y⁴)) + (y/(y⁴+x⁴)) < 1/(xy)

2.2. К окружности, вписанной в треугольник, проведены касательные, параллельные его сторонам. Точки пересечения касательных со сторонами треугольника являются вершинами шестиугольника АВСDEF. Верно ли, что противолежащие стороны этого шестиугольника попарно равны?

2.3. Укажите все натуральные значения n такие, что (n-1)! делится на n.
(Напомним, что m! = 1*2*...*(m-1)*m )

Третий тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

3.1. Существуют ли иррациональные числа x и y такие, что числа x+y² и x+2y - рациональные?

3.2. В трапеции АВСD меньшее основание ВС равно боковой стороне CD. Докажите, что если AD>2BC, то РABD - тупой.

3.3. Какое наименьшее количество точек надо расположить внутри выпуклого пятиугольника АВСDE, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в точках А, В, С, D и E лежала хотя бы одна точка?

Четвертый тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов)

4.1. Представьте многочлен x⁷+x⁵+1 в виде произведения двух многочленов.

4.2. Существует ли четырехугольник, не имеющий ни центра симметрии, ни оси симметрии, который можно разрезать на два равных четырехугольника?

4.3. В компании из n человек есть "шпион" - человек, который знает каждого члена этой компании, но его не знает никто из них. Вы можете спросить любого из членов компании про любого другого человека, знает он его или нет, и получить честный ответ. Сможете ли вы выявить "шпиона", задав (n-1) вопрос?

Пятый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов)

5.1. Найдите все наборы, состоящие из 11 чисел, если известно, что каждое из этих чисел равно квадрату суммы остальных десяти чисел.

5.2. Внутри отрезка АВ взяты точки С и D так, что АС=BD. Докажите, что для любой точки О, не лежащей на прямой АВ, выполняется неравенство ОА+ОВ>ОС+OD.

5.3. Сколько различных значений можно получить, расставляя всеми возможными способами скобки в выражении 2:3:5:7:11:13:17:19:23:29?

Результаты

Жёлтым цветом выделены оценки, поставленные в результате апелляций.